En effectuant la division euclidienne de $P(z)$ par $(z - a)$ pour obtenir $P(z) = (z-a)Q(z)$

Factoriser un polynôme $P$ dont une racine $a$ est connue en obtenant $P(z) = (z-a)Q(z)$ .

L'objectif

Factoriser un polynôme $P$ dont une racine $a$ est connue en obtenant $P(z) = (z-a)Q(z)$ .

Le principe

Si $P(a) = 0$ , alors $(z-a)$ divise $P(z)$ et la division euclidienne de $P$ par $(z-a)$ est exacte (reste nul).

La méthode

1
Vérifier que $P(a) = 0$ (sinon $a$ n'est pas racine et la méthode ne s'applique pas).
2
Effectuer la division euclidienne de $P(z)$ par $(z-a)$ : chercher $Q(z)$ de degré $\deg P - 1$ tel que $P(z) = (z-a)Q(z)$ , en identifiant les coefficients degré par degré (ou par l'algorithme de Horner).
3
Écrire la factorisation $P(z) = (z-a)Q(z)$ et, si besoin, continuer à factoriser $Q(z)$ (en cherchant ses racines).

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Exercice d'exemple

Sachant que $1$ est racine de $P(z) = z^2 - 3z + 2$ , factoriser $P$ .

Étape 1 —

Vérifier que

P(a) = 0

(sinon

a

n'est pas racine et la méthode ne s'applique pas).

$P(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ . Bien, $1$ est racine.

Étape 2 —

Effectuer la division euclidienne de

P(z)

par

(z-a)

: chercher

Q(z)

de degré

\deg P - 1

tel que

P(z) = (z-a)Q(z)

, en identifiant les coefficients degré par degré (ou par l'algorithme de Horner).

Division de $z^2 - 3z + 2$ par $(z-1)$ : $z^2 - 3z + 2 = (z-1)(z + q)$ avec $-q = -3+1 = -2$ , donc $Q(z) = z - 2$ . Vérification : $(z-1)(z-2) = z^2 - 3z + 2$ . ✓

Étape 3 —

Écrire la factorisation

P(z) = (z-a)Q(z)

et, si besoin, continuer à factoriser

Q(z)

(en cherchant ses racines).

$P(z) = (z-1)(z-2)$ . Les deux racines de $P$ sont $1$ et $2$ .

$P(z) = (z-1)(z-2)$ .

Application guidée

Sachant que $2$ est racine de $P(z) = z^3 - 6z^2 + 11z - 6$ , factoriser $P$ complètement.

Application autonome 1

Sachant que $i$ est racine de $P(z) = z^3 - iz^2 + z - i$ , factoriser $P$ .

Application autonome 2

Sachant que $-1$ est racine de $P(z) = z^4 + z^3 - z - 1$ , factoriser $P$ complètement dans $\mathbb{C}$ .

Application autonome 3

Sachant que $-1$ est racine de $P(z) = z^3 + 3z^2 + 4z + 2$ , factoriser $P$ complètement dans $\mathbb{C}$ .

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En effectuant la division euclidienne de P(z)P(z)P(z) par (z−a)(z - a)(z−a) pour obtenir P(z)=(z−a)Q(z)P(z) = (z-a)Q(z)P(z)=(z−a)Q(z)

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En effectuant la division euclidienne de $P(z)$ par $(z - a)$ pour obtenir $P(z) = (z-a)Q(z)$