Comment factoriser un polynôme dont une racine est connue ?

En effectuant la division euclidienne de $P(z)$ par $(z - a)$ pour obtenir $P(z) = (z-a)Q(z)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Sachant que $1$ est racine de $P(z) = z^2 - 3z + 2$ , factoriser $P$ .

La méthode

1
Vérifier que $P(a) = 0$ (sinon $a$ n'est pas racine et la méthode ne s'applique pas).
2
Effectuer la division euclidienne de $P(z)$ par $(z-a)$ : chercher $Q(z)$ de degré $\deg P - 1$ tel que $P(z) = (z-a)Q(z)$ , en identifiant les coefficients degré par degré (ou par l'algorithme de Horner).
3
Écrire la factorisation $P(z) = (z-a)Q(z)$ et, si besoin, continuer à factoriser $Q(z)$ (en cherchant ses racines).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Sachant que $1$ est racine de $P(z) = z^2 - 3z + 2$ , factoriser $P$ .

1

$P(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ . Bien, $1$ est racine.

2

Division de $z^2 - 3z + 2$ par $(z-1)$ : $z^2 - 3z + 2 = (z-1)(z + q)$ avec $-q = -3+1 = -2$ , donc $Q(z) = z - 2$ . Vérification : $(z-1)(z-2) = z^2 - 3z + 2$ . ✓

3

$P(z) = (z-1)(z-2)$ . Les deux racines de $P$ sont $1$ et $2$ .

$P(z) = (z-1)(z-2)$ .

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Comment factoriser un polynôme dont une racine est connue ?

En effectuant la division euclidienne de P(z)P(z)P(z) par (z−a)(z - a)(z−a) pour obtenir P(z)=(z−a)Q(z)P(z) = (z-a)Q(z)P(z)=(z−a)Q(z)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En effectuant la division euclidienne de $P(z)$ par $(z - a)$ pour obtenir $P(z) = (z-a)Q(z)$