Comment factoriser un polynôme dont une racine est connue ?

En utilisant l'identité $z^n - a^n = (z-a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1})$

L'objectif

Factoriser une expression $z^n - a^n$ ou un polynôme qui s'y ramène, en appliquant l'identité de factorisation.

Le principe

Pour tout entier $n \geq 1$ et tout complexe $a$ : $z^n - a^n = (z-a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-2}z + a^{n-1})$ .

La méthode

1
Identifier que l'expression est de la forme $z^n - a^n$ (ou s'y ramène après substitution ou mise en facteur).
2
Appliquer l'identité : $z^n - a^n = (z-a)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}z^k = (z-a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1})$ .
3
Vérifier la factorisation en développant le produit, puis continuer à factoriser le second facteur si nécessaire (chercher ses racines ou appliquer à nouveau l'identité).

Difficulté croissante de 1 à 5

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En utilisant l'identité zn−an=(z−a)(zn−1+azn−2+⋯+an−1)z^n - a^n = (z-a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1})zn−an=(z−a)(zn−1+azn−2+⋯+an−1)