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Nombres complexes : Équations polynomiales — cours et méthodes maths… | MetMat
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Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes
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Nombres complexes : Équations polynomiales
Racines complexes d'équations polynomiales, factorisation, degré 2 et 3.
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0/5 maîtrisées
1
Maîtriser
Comment résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans
C
\mathbb{C}
C
?
En calculant
Δ
=
b
2
−
4
a
c
\Delta = b^2 - 4ac
Δ
=
b
2
−
4
a
c
; si
Δ
<
0
\Delta < 0
Δ
<
0
, les racines sont
z
=
−
b
±
i
−
Δ
2
a
z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}
z
=
2
a
−
b
±
i
−
Δ
Nouveau
En cherchant les racines carrées d'un complexe
δ
\delta
δ
en posant
δ
=
u
+
i
v
\delta = u + iv
δ
=
u
+
i
v
et en résolvant le système
u
2
−
v
2
=
R
e
(
δ
)
u^2 - v^2 = \mathrm{Re}(\delta)
u
2
−
v
2
=
Re
(
δ
)
,
2
u
v
=
I
m
(
δ
)
2uv = \mathrm{Im}(\delta)
2
uv
=
Im
(
δ
)
,
u
2
+
v
2
=
∣
δ
∣
u^2 + v^2 = |\delta|
u
2
+
v
2
=
∣
δ
∣
Nouveau
Comment factoriser un polynôme dont une racine est connue ?
En effectuant la division euclidienne de
P
(
z
)
P(z)
P
(
z
)
par
(
z
−
a
)
(z - a)
(
z
−
a
)
pour obtenir
P
(
z
)
=
(
z
−
a
)
Q
(
z
)
P(z) = (z-a)Q(z)
P
(
z
)
=
(
z
−
a
)
Q
(
z
)
Nouveau
En utilisant l'identité
z
n
−
a
n
=
(
z
−
a
)
(
z
n
−
1
+
a
z
n
−
2
+
⋯
+
a
n
−
1
)
z^n - a^n = (z-a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1})
z
n
−
a
n
=
(
z
−
a
)
(
z
n
−
1
+
a
z
n
−
2
+
⋯
+
a
n
−
1
)
Nouveau
Comment résoudre une équation de degré 3 à coefficients réels dont une racine est connue ?
Nouveau
Reconnaître
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.
Résoudre
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.