Comment résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans $\mathbb{C}$ ?

En calculant $\Delta = b^2 - 4ac$ ; si $\Delta < 0$ , les racines sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 + 4 = 0$ .

La méthode

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Identifier les coefficients $a$ , $b$ , $c$ et calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .
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Si $\Delta > 0$ : deux racines réelles $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Si $\Delta = 0$ : racine double $z = \frac{-b}{2a}$ . Si $\Delta < 0$ : deux racines complexes conjuguées $z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .
3
Vérifier que les deux racines obtenues sont bien conjuguées l'une de l'autre (partie réelle identique, parties imaginaires opposées).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 + 4 = 0$ .

1

$a = 1$ , $b = 0$ , $c = 4$ . On calcule $\Delta = 0^2 - 4 \times 1 \times 4 = -16$ .

2

$\Delta = -16 < 0$ , donc $z = \frac{0 \pm i\sqrt{16}}{2} = \pm 2i$ .

3

Les racines sont $z_1 = 2i$ et $z_2 = -2i$ , bien conjuguées l'une de l'autre.

$z_1 = 2i$ et $z_2 = -2i$ .

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Comment résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans C\mathbb{C}C ?

En calculant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac ; si Δ<0\Delta < 0Δ<0, les racines sont z=−b±i−Δ2az = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}z=2a−b±i−Δ​​

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans $\mathbb{C}$ ?

En calculant $\Delta = b^2 - 4ac$ ; si $\Delta < 0$ , les racines sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$