Comment résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans $\mathbb{C}$ ? | MetMat

Comment résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans $\mathbb{C}$ ?

En calculant $\Delta = b^2 - 4ac$ ; si $\Delta < 0$ , les racines sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

Résoudre dans $\mathbb{C}$ une équation du second degré à coefficients réels en utilisant le discriminant.

L'objectif

Résoudre dans $\mathbb{C}$ une équation du second degré à coefficients réels en utilisant le discriminant.

Le principe

Si $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ , l'équation admet deux racines complexes conjuguées $z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .

La méthode

1
Identifier les coefficients $a$ , $b$ , $c$ et calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .
2
Si $\Delta > 0$ : deux racines réelles $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Si $\Delta = 0$ : racine double $z = \frac{-b}{2a}$ . Si $\Delta < 0$ : deux racines complexes conjuguées $z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .
3
Vérifier que les deux racines obtenues sont bien conjuguées l'une de l'autre (partie réelle identique, parties imaginaires opposées).

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 + 4 = 0$ .

Étape 1 —

Identifier les coefficients

a

b

c

et calculer le discriminant

\Delta = b^2 - 4ac

$a = 1$ , $b = 0$ , $c = 4$ . On calcule $\Delta = 0^2 - 4 \times 1 \times 4 = -16$ .

Étape 2 —

\Delta > 0

: deux racines réelles

z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

. Si

\Delta = 0

: racine double

z = \frac{-b}{2a}

. Si

\Delta < 0

: deux racines complexes conjuguées

z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}

$\Delta = -16 < 0$ , donc $z = \frac{0 \pm i\sqrt{16}}{2} = \pm 2i$ .

Étape 3 —

Vérifier que les deux racines obtenues sont bien conjuguées l'une de l'autre (partie réelle identique, parties imaginaires opposées).

Les racines sont $z_1 = 2i$ et $z_2 = -2i$ , bien conjuguées l'une de l'autre.

$z_1 = 2i$ et $z_2 = -2i$ .

Application guidée

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 2z + 5 = 0$ .

Application autonome 1

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $2z^2 + 2z + 1 = 0$ .

Application autonome 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 5z + 6 = 0$ (cas $\Delta > 0$ pour contraste).

Application autonome 3

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $3z^2 - z + 2 = 0$ .

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices