Comment résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans $\mathbb{C}$ ? | MetMat

Comment résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans $\mathbb{C}$ ?

En cherchant les racines carrées d'un complexe $\delta$ en posant $\delta = u + iv$ et en résolvant le système $u^2 - v^2 = \mathrm{Re}(\delta)$ , $2uv = \mathrm{Im}(\delta)$ , $u^2 + v^2 = |\delta|$

Calculer les racines carrées d'un nombre complexe $\delta$ en résolvant un système réel, afin de résoudre une équation du second degré à coefficients complexes.

L'objectif

Calculer les racines carrées d'un nombre complexe $\delta$ en résolvant un système réel, afin de résoudre une équation du second degré à coefficients complexes.

Le principe

Si $w = u + iv$ est une racine carrée de $\delta = p + iq$ , alors $w^2 = \delta$ se traduit par le système $u^2 - v^2 = p$ , $2uv = q$ , complété par $u^2 + v^2 = |\delta|$ .

La méthode

1
Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ (qui peut être complexe si les coefficients sont complexes, ou négatif réel). Poser $\delta = \Delta$ et chercher $w = u + iv$ tel que $w^2 = \delta$ .
2
Développer $w^2 = u^2 - v^2 + 2uvi$ et identifier partie réelle et imaginaire : $u^2 - v^2 = \mathrm{Re}(\delta)$ , $2uv = \mathrm{Im}(\delta)$ . Utiliser $u^2 + v^2 = |\delta|$ pour former un système à deux équations en $u^2$ et $v^2$ .
3
Résoudre le système pour obtenir $u^2$ et $v^2$ (valeurs positives), en déduire les valeurs de $u$ et $v$ (cohérentes avec le signe de $2uv$ ), puis écrire les deux racines $w_1 = u + iv$ et $w_2 = -(u+iv)$ .
4
Conclure : les solutions de l'équation sont $z = \frac{-b + w_1}{2a}$ et $z = \frac{-b + w_2}{2a}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer les racines carrées de $-9$ , puis résoudre $z^2 + 9 = 0$ .

Étape 1 —

Calculer

\Delta = b^2 - 4ac

(qui peut être complexe si les coefficients sont complexes, ou négatif réel). Poser

\delta = \Delta

et chercher

w = u + iv

tel que

w^2 = \delta

$\Delta = -9$ . On cherche $w = u + iv$ tel que $w^2 = -9$ , soit $u^2 - v^2 = -9$ , $2uv = 0$ , $u^2 + v^2 = 9$ .

Étape 2 —

Développer

w^2 = u^2 - v^2 + 2uvi

et identifier partie réelle et imaginaire :

u^2 - v^2 = \mathrm{Re}(\delta)

2uv = \mathrm{Im}(\delta)

. Utiliser

u^2 + v^2 = |\delta|

pour former un système à deux équations en

u^2

v^2

De $2uv = 0$ : $u = 0$ ou $v = 0$ . Comme $u^2 - v^2 = -9 < 0$ , on prend $u = 0$ , d'où $v^2 = 9$ , $v = \pm 3$ . Les racines carrées de $-9$ sont $\pm 3i$ .

Étape 3 —

Résoudre le système pour obtenir

u^2

v^2

(valeurs positives), en déduire les valeurs de

u

v

(cohérentes avec le signe de

2uv

), puis écrire les deux racines

w_1 = u + iv

w_2 = -(u+iv)

On obtient $w_1 = 3i$ et $w_2 = -3i$ .

Étape 4 —

Conclure : les solutions de l'équation sont

z = \frac{-b + w_1}{2a}

z = \frac{-b + w_2}{2a}

Les solutions de $z^2 + 9 = 0$ sont $z = \frac{0 \pm 3i}{2} \ \Rightarrow \ z_1 = 3i$ , $z_2 = -3i$ .

$z_1 = 3i$ et $z_2 = -3i$ .

Application guidée

Calculer les racines carrées de $3 + 4i$ .

Application autonome 1

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 2iz - 1 + 2i = 0$ .

Application autonome 2

Calculer les racines carrées de $-5 + 12i$ , puis en déduire les solutions de $z^2 + 5 - 12i = 0$ .

Application autonome 3

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - (3+i)z + (2+i) = 0$ .

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En cherchant les racines carrées d'un complexe δ\deltaδ en posant δ=u+iv\delta = u + ivδ=u+iv et en résolvant le système u2−v2=Re(δ)u^2 - v^2 = \mathrm{Re}(\delta)u2−v2=Re(δ), 2uv=Im(δ)2uv = \mathrm{Im}(\delta)2uv=Im(δ), u2+v2=∣δ∣u^2 + v^2 = |\delta|u2+v2=∣δ∣

Pour comprendre, fais des exercices !

En cherchant les racines carrées d'un complexe $\delta$ en posant $\delta = u + iv$ et en résolvant le système $u^2 - v^2 = \mathrm{Re}(\delta)$ , $2uv = \mathrm{Im}(\delta)$ , $u^2 + v^2 = |\delta|$