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Comment déterminer le module… : En utilisant les propriétés… — maths expertes | MetMat

Méthodes › Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes › Nombres complexes : Algèbre

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Comment déterminer le module d'un nombre complexe ?

En utilisant les propriétés multiplicatives : $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ et $|z^n| = |z|^n$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $|(1 + i)^{10}|$ .

La méthode

1
Identifier la structure du nombre complexe (produit, quotient, puissance).
2
Appliquer $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ ou $|z^n| = |z|^n$ pour ramener au calcul de modules simples.
3
Calculer chaque module élémentaire (via $\sqrt{x^2+y^2}$ ) et conclure.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer $|(1 + i)^{10}|$ .

On a une puissance : $|(1+i)^{10}| = |1+i|^{10}$ .

$|1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ .

$|1+i|^{10} = (\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32$ .

$32$

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Pour aller plus loin

La question

Comment déterminer le module d'un nombre complexe ?

Les autres approches de cette question

En calculant $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ à partir de $z = x + iy$
En utilisant $|z|^2 = z\bar{z}$

Le chapitre

Nombres complexes : Algèbre
Toutes les méthodes — Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes

Les autres questions du chapitre

Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?
Comment résoudre une équation linéaire $az = b$ dans $\mathbb{C}$ ?
Comment résoudre une équation faisant intervenir $z$ et $\bar{z}$ ?

Comment déterminer le module d'un nombre complexe ?

En utilisant les propriétés multiplicatives : ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1 z_2| = |z_1||z_2|∣z1​z2​∣=∣z1​∣∣z2​∣ et ∣zn∣=∣z∣n|z^n| = |z|^n∣zn∣=∣z∣n

Pour comprendre, passons aux exercices.

En utilisant les propriétés multiplicatives : $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ et $|z^n| = |z|^n$