En calculant $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ à partir de $z = x + iy$

Calculer le module d'un nombre complexe donné sous forme algébrique.

L'objectif

Calculer le module d'un nombre complexe donné sous forme algébrique.

Le principe

Par définition, si $z = x + iy$ ( $x, y \in \mathbb{R}$ ), alors $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

La méthode

1
Écrire $z$ sous la forme algébrique $x + iy$ en identifiant $x = \mathrm{Re}(z)$ et $y = \mathrm{Im}(z)$ .
2
Calculer $x^2 + y^2$ .
3
Conclure : $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (valeur exacte, simplifiée si possible).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $|3 + 4i|$ .

Étape 1 —

Écrire

z

sous la forme algébrique

x + iy

en identifiant

x = \mathrm{Re}(z)

y = \mathrm{Im}(z)

$x = 3$ , $y = 4$ .

Étape 2 —

Calculer

x^2 + y^2

$x^2 + y^2 = 9 + 16 = 25$ .

Étape 3 —

Conclure :

|z| = \sqrt{x^2 + y^2}

(valeur exacte, simplifiée si possible).

$|3 + 4i| = \sqrt{25} = 5$ .

$5$

Application guidée

Calculer $|1 - i|$ .

Application autonome 1

Calculer $|2 - 3i|$ .

Application autonome 2

Calculer $|{-5 + 12i}|$ .

Application autonome 3

Calculer $|7 - 24i|$ .

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