Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?

En appliquant la formule du binôme de Newton dans $\mathbb{C}$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Développer $(1 + i)^3$ par la formule du binôme.

La méthode

1
Identifier $a$ et $b$ dans le binôme $(a + b)^n$ avec $a, b \in \mathbb{C}$ .
2
Appliquer $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ en calculant les coefficients $\binom{n}{k}$ .
3
Simplifier chaque puissance de $i$ : $i^0=1$ , $i^1=i$ , $i^2=-1$ , $i^3=-i$ , $i^4=1$ , puis le cycle recommence.
4
Regrouper les termes réels et imaginaires pour obtenir la forme algébrique $a + ib$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Développer $(1 + i)^3$ par la formule du binôme.

1

$a = 1$ , $b = i$ , $n = 3$ .

2

$(1+i)^3 = \binom{3}{0}i^0 + \binom{3}{1}i^1 + \binom{3}{2}i^2 + \binom{3}{3}i^3 = 1 + 3i + 3i^2 + i^3$ .

3

$i^2 = -1$ et $i^3 = -i$ , donc $1 + 3i + 3(-1) + (-i) = 1 + 3i - 3 - i$ .

4

On regroupe : $-2 + 2i$ .

$-2 + 2i$

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Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?

En appliquant la formule du binôme de Newton dans C\mathbb{C}C

Pour comprendre, passons aux exercices.

En appliquant la formule du binôme de Newton dans $\mathbb{C}$