Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?

En calculant l'inverse via $z^{-1} = \bar{z}/|z|^2$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\dfrac{1}{3 + 4i}$ .

La méthode

1
Écrire $z = a + ib$ et calculer son conjugué $\bar{z} = a - ib$ .
2
Calculer $|z|^2 = a^2 + b^2$ (toujours réel et strictement positif si $z \neq 0$ ).
Comment déterminer le module d'un nombre complexe ?Voir
3
Conclure : $z^{-1} = \dfrac{\bar{z}}{|z|^2} = \dfrac{a}{a^2+b^2} - \dfrac{b}{a^2+b^2}\,i$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer $\dfrac{1}{3 + 4i}$ .

1

$z = 3 + 4i$ , donc $\bar{z} = 3 - 4i$ .

2

$|z|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ .

3

$z^{-1} = \dfrac{3 - 4i}{25} = \dfrac{3}{25} - \dfrac{4}{25}\,i$ .

$\dfrac{3}{25} - \dfrac{4}{25}\,i$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?

En calculant l'inverse via z−1=zˉ/∣z∣2z^{-1} = \bar{z}/|z|^2z−1=zˉ/∣z∣2

Pour comprendre, passons aux exercices.

En calculant l'inverse via $z^{-1} = \bar{z}/|z|^2$