Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?

En calculant l'inverse via $z^{-1} = \bar{z}/|z|^2$

L'objectif

Obtenir l'inverse d'un nombre complexe sous forme algébrique $a + ib$ .

Le principe

Pour $z \neq 0$ : $z^{-1} = \dfrac{\bar{z}}{|z|^2} = \dfrac{\bar{z}}{z\bar{z}}$ , ce qui revient à multiplier par le conjugué pour rendre le dénominateur réel.

La méthode

1
Écrire $z = a + ib$ et calculer son conjugué $\bar{z} = a - ib$ .
2
Calculer $|z|^2 = a^2 + b^2$ (toujours réel et strictement positif si $z \neq 0$ ).
Comment déterminer le module d'un nombre complexe ?Voir
3
Conclure : $z^{-1} = \dfrac{\bar{z}}{|z|^2} = \dfrac{a}{a^2+b^2} - \dfrac{b}{a^2+b^2}\,i$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En calculant l'inverse via z−1=zˉ/∣z∣2z^{-1} = \bar{z}/|z|^2z−1=zˉ/∣z∣2

Exemple corrigé

En calculant l'inverse via $z^{-1} = \bar{z}/|z|^2$