Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ? | MetMat

Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?

En utilisant les propriétés du conjugué : $z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$ et $z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$

Utiliser le conjugué pour simplifier une expression complexe ou déterminer la partie réelle et imaginaire.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $z = 3 + 4i$ . Calculer $\mathrm{Re}(z)$ et $\mathrm{Im}(z)$ via les formules avec le conjugué.

L'objectif

Utiliser le conjugué pour simplifier une expression complexe ou déterminer la partie réelle et imaginaire.

Le principe

Pour tout $z \in \mathbb{C}$ : $z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$ , $z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$ , $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$ et $\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1}\,\bar{z_2}$ .

La méthode

1
Identifier le nombre complexe $z$ et calculer son conjugué $\bar{z}$ en changeant le signe de la partie imaginaire.
2
Appliquer la propriété adaptée : $z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$ pour extraire la partie réelle, ou $z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$ pour la partie imaginaire.
3
Si l'expression comporte un produit ou une somme, utiliser $\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1}\,\bar{z_2}$ et $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$ pour distribuer la conjugaison.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $z = 3 + 4i$ . Calculer $\mathrm{Re}(z)$ et $\mathrm{Im}(z)$ via les formules avec le conjugué.

Étape 1 —

Identifier le nombre complexe

z

et calculer son conjugué

\bar{z}

en changeant le signe de la partie imaginaire.

$\bar{z} = 3 - 4i$ .

Étape 2 —

Appliquer la propriété adaptée :

z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)

pour extraire la partie réelle, ou

z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)

pour la partie imaginaire.

$z + \bar{z} = (3 + 4i) + (3 - 4i) = 6 = 2\,\mathrm{Re}(z)$ , donc $\mathrm{Re}(z) = 3$ . $z - \bar{z} = 8i = 2i\,\mathrm{Im}(z)$ , donc $\mathrm{Im}(z) = 4$ .

Étape 3 —

Si l'expression comporte un produit ou une somme, utiliser

\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1}\,\bar{z_2}

\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}

pour distribuer la conjugaison.

Aucune distribution supplémentaire n'est nécessaire ici.

$\mathrm{Re}(z) = 3$ , $\mathrm{Im}(z) = 4$

Application guidée

Calculer $\overline{(2 + i)(3 - 2i)}$ sans développer le produit.

Application autonome 1

Montrer que $z\bar{z} \in \mathbb{R}$ pour tout $z = a + ib$ .

Application autonome 2

Soit $z = (1+i)^2 + \overline{(1+i)^2}$ . Calculer $z$ .

Application autonome 3

Soit $z = (3-2i)(1+4i)$ . Calculer $\mathrm{Re}(z)$ sans développer le produit, en utilisant $\mathrm{Re}(z) = \tfrac{1}{2}(z + \bar{z})$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant les propriétés du conjugué : z+zˉ=2 Re(z)z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)z+zˉ=2Re(z) et z−zˉ=2i Im(z)z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)z−zˉ=2iIm(z)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant les propriétés du conjugué : $z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$ et $z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$