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Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?

En utilisant les propriétés du conjugué : z+zˉ=2 Re(z)z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z) et z−zˉ=2i Im(z)z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)

L'objectif

Utiliser le conjugué pour simplifier une expression complexe ou déterminer la partie réelle et imaginaire.

Le principe

Pour tout z∈Cz \in \mathbb{C} : z+zˉ=2 Re(z)z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z), z−zˉ=2i Im(z)z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z), z1+z2‾=z1ˉ+z2ˉ\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2} et z1z2‾=z1ˉ z2ˉ\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1}\,\bar{z_2}.

La méthode
  1. 1
    Identifier le nombre complexe zz et calculer son conjugué zˉ\bar{z} en changeant le signe de la partie imaginaire.
  2. 2
    Appliquer la propriété adaptée : z+zˉ=2 Re(z)z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z) pour extraire la partie réelle, ou z−zˉ=2i Im(z)z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z) pour la partie imaginaire.
  3. 3
    Si l'expression comporte un produit ou une somme, utiliser z1z2‾=z1ˉ z2ˉ\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1}\,\bar{z_2} et z1+z2‾=z1ˉ+z2ˉ\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2} pour distribuer la conjugaison.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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