Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ? | MetMat

Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?

En utilisant les propriétés du conjugué : $z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$ et $z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$

Utiliser le conjugué pour simplifier une expression complexe ou déterminer la partie réelle et imaginaire.

L'objectif

Utiliser le conjugué pour simplifier une expression complexe ou déterminer la partie réelle et imaginaire.

Le principe

Pour tout $z \in \mathbb{C}$ : $z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$ , $z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$ , $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$ et $\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1}\,\bar{z_2}$ .

La méthode

1
Identifier le nombre complexe $z$ et calculer son conjugué $\bar{z}$ en changeant le signe de la partie imaginaire.
2
Appliquer la propriété adaptée : $z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$ pour extraire la partie réelle, ou $z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$ pour la partie imaginaire.
3
Si l'expression comporte un produit ou une somme, utiliser $\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1}\,\bar{z_2}$ et $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$ pour distribuer la conjugaison.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $z = 3 + 4i$ . Calculer $\mathrm{Re}(z)$ et $\mathrm{Im}(z)$ via les formules avec le conjugué.

Étape 1 —

Identifier le nombre complexe

z

et calculer son conjugué

\bar{z}

en changeant le signe de la partie imaginaire.

$\bar{z} = 3 - 4i$ .

Étape 2 —

Appliquer la propriété adaptée :

z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)

pour extraire la partie réelle, ou

z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)

pour la partie imaginaire.

$z + \bar{z} = (3 + 4i) + (3 - 4i) = 6 = 2\,\mathrm{Re}(z)$ , donc $\mathrm{Re}(z) = 3$ . $z - \bar{z} = 8i = 2i\,\mathrm{Im}(z)$ , donc $\mathrm{Im}(z) = 4$ .

Étape 3 —

Si l'expression comporte un produit ou une somme, utiliser

\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1}\,\bar{z_2}

\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}

pour distribuer la conjugaison.

Aucune distribution supplémentaire n'est nécessaire ici.

$\mathrm{Re}(z) = 3$ , $\mathrm{Im}(z) = 4$

Application guidée

Calculer $\overline{(2 + i)(3 - 2i)}$ sans développer le produit.

Application autonome 1

Montrer que $z\bar{z} \in \mathbb{R}$ pour tout $z = a + ib$ .

Application autonome 2

Soit $z = (1+i)^2 + \overline{(1+i)^2}$ . Calculer $z$ .

Application autonome 3

Soit $z = (3-2i)(1+4i)$ . Calculer $\mathrm{Re}(z)$ sans développer le produit, en utilisant $\mathrm{Re}(z) = \tfrac{1}{2}(z + \bar{z})$ .

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En utilisant les propriétés du conjugué : z+zˉ=2 Re(z)z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)z+zˉ=2Re(z) et z−zˉ=2i Im(z)z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)z−zˉ=2iIm(z)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant les propriétés du conjugué : $z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$ et $z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$