Comment simuler une loi normale… : En calculant U = rd.random(12); X =… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment simuler une loi normale à partir du TLC appliqué à 12 lois uniformes indépendantes ?

En calculant `U = rd.random(12); X = np.sum(U) - 6` pour obtenir $X \approx \mathcal{N}(0,1)$

Simuler une réalisation approchée de $\mathcal{N}(0,1)$ avec $12$ uniformes.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Simuler une réalisation de $\mathcal{N}(0,1)$ par la méthode des $12$ uniformes, afficher sa valeur.

L'objectif

Simuler une réalisation approchée de $\mathcal{N}(0,1)$ avec $12$ uniformes.

Le principe

Si $U_1,\dots,U_{12}$ sont i.i.d. $\mathcal{U}([0,1])$ , alors $E(U_i) = 1/2$ , $V(U_i) = 1/12$ , donc $S = \sum U_i$ vérifie $E(S) = 6$ et $V(S) = 1$ ; par TLC, $S - 6 \approx \mathcal{N}(0,1)$ , et le choix $n=12$ évite la division par $\sqrt{n}$ .

La méthode

1
Je rappelle les moments de $\mathcal{U}([0,1])$ : $E(U) = 1/2$ et $V(U) = 1/12$ , ce qui fixe la normalisation.
2
Je tire $12$ uniformes avec U = rd.random(12), tableau numpy de taille $12$ à valeurs dans $[0,1[$ .
3
Je calcule la somme centrée : X = np.sum(U) - 6. L'espérance vaut $12\cdot 1/2 - 6 = 0$ et la variance vaut $12\cdot 1/12 = 1$ .
4
D'après le TLC, $X$ suit approximativement $\mathcal{N}(0,1)$ ; $n=12$ donne déjà une très bonne approximation, d'où l'intérêt de cette valeur.
5
Pour un échantillon de taille $N$ , je vectorise : U = rd.random((N, 12)) puis X = U.sum(axis=1) - 6, ce qui donne un tableau de $N$ réalisations en une seule opération numpy.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Simuler une réalisation de $\mathcal{N}(0,1)$ par la méthode des $12$ uniformes, afficher sa valeur.

Étape 1 —

Je rappelle les moments de

\mathcal{U}([0,1])

E(U) = 1/2

V(U) = 1/12

, ce qui fixe la normalisation.

Je rappelle $E(U) = 1/2$ , $V(U) = 1/12$ , donc $S = U_1 + \dots + U_{12}$ vérifie $E(S) = 6$ , $V(S) = 1$ .

Étape 2 —

Je tire

12

uniformes avec U = rd.random(12), tableau numpy de taille

12

à valeurs dans

[0,1[

import numpy as np
import numpy.random as rd
U = rd.random(12)

Étape 3 —

Je calcule la somme centrée : X = np.sum(U) - 6. L'espérance vaut

12\cdot 1/2 - 6 = 0

et la variance vaut

12\cdot 1/12 = 1

X = np.sum(U) - 6
print(X)

Étape 4 —

D'après le TLC,

X

suit approximativement

\mathcal{N}(0,1)

;

n=12

donne déjà une très bonne approximation, d'où l'intérêt de cette valeur.

Par TLC, $X\approx\mathcal{N}(0,1)$ : j'obtiens par exemple $X \approx 0{,}47$ , valeur plausible pour une variable centrée réduite.

Étape 5 —

Pour un échantillon de taille

N

, je vectorise : U = rd.random((N, 12)) puis X = U.sum(axis=1) - 6, ce qui donne un tableau de

N

réalisations en une seule opération numpy.

Cette technique évite les fonctions spéciales (log, cos) de la méthode de Box-Muller.

Un tirage donne typiquement $X\in[-3,3]$ , distribué suivant $\mathcal{N}(0,1)$ .

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Comment simuler une loi normale à partir du TLC appliqué à 12 lois uniformes indépendantes ?

En calculant U = rd.random(12); X = np.sum(U) - 6 pour obtenir X≈N(0,1)X \approx \mathcal{N}(0,1)X≈N(0,1)

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant `U = rd.random(12); X = np.sum(U) - 6` pour obtenir $X \approx \mathcal{N}(0,1)$