Comment écrire un système… : En identifiant les coefficients du… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment écrire un système différentiel sous forme matricielle $X'=AX$ ?

En identifiant les coefficients du système et en formant la matrice $A$

Réécrire un système différentiel linéaire à coefficients constants sous la forme compacte $X'=AX$ adaptée aux outils d'algèbre linéaire.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Mettre sous forme matricielle le système $\begin{cases} x'(t)=2x(t)+y(t) \\ y'(t)=x(t)+2y(t) \end{cases}$ .

L'objectif

Réécrire un système différentiel linéaire à coefficients constants sous la forme compacte $X'=AX$ adaptée aux outils d'algèbre linéaire.

Le principe

Un système $\begin{cases} x_1'(t)=a_{11}x_1(t)+\dots+a_{1n}x_n(t) \\ \vdots \\ x_n'(t)=a_{n1}x_1(t)+\dots+a_{nn}x_n(t) \end{cases}$ s'écrit $X'(t)=AX(t)$ avec $X(t)=\begin{pmatrix} x_1(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{pmatrix}$ et $A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

La méthode

1
Je nomme les fonctions inconnues $x_1(t),\dots,x_n(t)$ et je pose le vecteur $X(t)=\begin{pmatrix} x_1(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{pmatrix}$ ainsi que sa dérivée $X'(t)$ .
2
Je lis chaque équation $x_i'(t)=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,x_j(t)$ et je place les coefficients $a_{ij}$ à la $i$ -ème ligne, $j$ -ème colonne d'une matrice $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .
3
Je conclus que le système s'écrit $X'(t)=AX(t)$ pour tout $t\in\mathbb{R}$ , avec la matrice $A$ obtenue.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Mettre sous forme matricielle le système $\begin{cases} x'(t)=2x(t)+y(t) \\ y'(t)=x(t)+2y(t) \end{cases}$ .

Étape 1 —

Je nomme les fonctions inconnues

x_1(t),\dots,x_n(t)

et je pose le vecteur

X(t)=\begin{pmatrix} x_1(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{pmatrix}

ainsi que sa dérivée

X'(t)

Je pose $X(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ et $X'(t)=\begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je lis chaque équation

x_i'(t)=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,x_j(t)

et je place les coefficients

a_{ij}

à la

i

-ème ligne,

j

-ème colonne d'une matrice

A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})

Les coefficients de $x'$ sont $(2,1)$ et ceux de $y'$ sont $(1,2)$ , donc $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je conclus que le système s'écrit

X'(t)=AX(t)

pour tout

t\in\mathbb{R}

, avec la matrice

A

obtenue.

Le système s'écrit $X'(t)=AX(t)$ avec $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

$X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

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Comment écrire un système différentiel sous forme matricielle X′=AXX'=AXX′=AX ?

En identifiant les coefficients du système et en formant la matrice AAA

Pour comprendre, fais des exercices !

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En identifiant les coefficients du système et en formant la matrice $A$