Comment déterminer le… : En examinant le signe des valeurs… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment déterminer le comportement asymptotique des trajectoires d'un système $X'=AX$ ?

En examinant le signe des valeurs propres de $A$

Décrire qualitativement le comportement des trajectoires $t\mapsto X(t)$ d'un système $X'=AX$ avec $A$ diagonalisable, lorsque $t\to+\infty$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier le comportement asymptotique des solutions de $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ .

L'objectif

Décrire qualitativement le comportement des trajectoires $t\mapsto X(t)$ d'un système $X'=AX$ avec $A$ diagonalisable, lorsque $t\to+\infty$ .

Le principe

Si $A$ est diagonalisable de valeurs propres réelles $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ , alors $X(t)=\sum_{i=1}^n c_i e^{\lambda_i t}V_i$ : chaque terme $e^{\lambda_i t}$ tend vers $0$ si $\lambda_i<0$ , vers $+\infty$ si $\lambda_i>0$ , et reste constant à $1$ si $\lambda_i=0$ .

La méthode

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Je détermine les valeurs propres réelles $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ de $A$ (avec $A$ diagonalisable) et j'écris la solution générale $X(t)=\sum_{i=1}^n c_i e^{\lambda_i t}V_i$ .
Comment déterminer le spectre (valeurs propres) d'une matrice carrée ?Voir
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Pour chaque $i$ , j'examine le signe de $\lambda_i$ : $\lambda_i<0\Rightarrow e^{\lambda_i t}\xrightarrow[t\to+\infty]{} 0$ ; $\lambda_i>0\Rightarrow e^{\lambda_i t}\xrightarrow[t\to+\infty]{} +\infty$ ; $\lambda_i=0\Rightarrow e^{\lambda_i t}=1$ .
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Je conclus : si toutes les $\lambda_i<0$ alors $X(t)\to 0$ (toutes les trajectoires convergent vers l'origine) ; s'il existe un $\lambda_i>0$ avec $c_i\neq 0$ , alors $\|X(t)\|\to+\infty$ ; sinon je décris le régime intermédiaire (solutions bornées non convergentes).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier le comportement asymptotique des solutions de $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je détermine les valeurs propres réelles

\lambda_1,\dots,\lambda_n

A

(avec

A

diagonalisable) et j'écris la solution générale

X(t)=\sum_{i=1}^n c_i e^{\lambda_i t}V_i

Les valeurs propres sont $\lambda_1=-1$ et $\lambda_2=-3$ (calcul standard), donc $X(t)=c_1 e^{-t}V_1+c_2 e^{-3t}V_2$ .

Étape 2 —

Pour chaque

i

, j'examine le signe de

\lambda_i

\lambda_i<0\Rightarrow e^{\lambda_i t}\xrightarrow[t\to+\infty]{} 0

;

\lambda_i>0\Rightarrow e^{\lambda_i t}\xrightarrow[t\to+\infty]{} +\infty

;

\lambda_i=0\Rightarrow e^{\lambda_i t}=1

Comme $\lambda_1=-1<0$ et $\lambda_2=-3<0$ , on a $e^{-t}\to 0$ et $e^{-3t}\to 0$ quand $t\to+\infty$ .

Étape 3 —

Je conclus : si toutes les

\lambda_i<0

alors

X(t)\to 0

(toutes les trajectoires convergent vers l'origine) ; s'il existe un

\lambda_i>0

avec

c_i\neq 0

, alors

\|X(t)\|\to+\infty

; sinon je décris le régime intermédiaire (solutions bornées non convergentes).

Donc $X(t)\to\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ : toutes les trajectoires convergent vers l'origine.

Toutes les trajectoires tendent vers $0$ quand $t\to+\infty$ .

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Comment déterminer le comportement asymptotique des trajectoires d'un système X′=AXX'=AXX′=AX ?

En examinant le signe des valeurs propres de AAA

Pour comprendre, fais des exercices !

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En examinant le signe des valeurs propres de $A$