Comment étudier la convergence… : En calculant lim_ x → +∞ int_a^x f(t) dt… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment étudier la convergence d'une intégrale impropre $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ par définition ?

En calculant $\lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ et en vérifiant qu'elle est finie

Décider de la convergence d'une intégrale impropre à partir de la définition par limite des intégrales partielles.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la convergence de $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ .

L'objectif

Décider de la convergence d'une intégrale impropre à partir de la définition par limite des intégrales partielles.

Le principe

L'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge si et seulement si la fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ admet une limite finie en $+\infty$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur $[a, +\infty[$ pour pouvoir définir l'intégrale partielle $F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ .
2
Je calcule $F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ en cherchant une primitive de $f$ sur le segment $[a, x]$ .
3
J'étudie $\lim_{x \to +\infty} F(x)$ : si la limite existe et est finie, l'intégrale converge et vaut cette limite ; sinon, elle diverge.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la convergence de $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur

[a, +\infty[

pour pouvoir définir l'intégrale partielle

F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t

La fonction $t \mapsto \frac{1}{t^2}$ est continue sur $[1, +\infty[$ , donc l'intégrale partielle $F(x) = \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ est bien définie pour tout $x \geq 1$ .

Étape 2 —

Je calcule

F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t

en cherchant une primitive de

f

sur le segment

[a, x]

Une primitive de $t \mapsto \frac{1}{t^2}$ est $t \mapsto -\frac{1}{t}$ , donc $F(x) = \left[-\frac{1}{t}\right]_1^x = 1 - \frac{1}{x}$ .

Étape 3 —

J'étudie

\lim_{x \to +\infty} F(x)

: si la limite existe et est finie, l'intégrale converge et vaut cette limite ; sinon, elle diverge.

$\lim_{x \to +\infty} F(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right) = 1$ , qui est finie : l'intégrale converge.

$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2} = 1$ , donc l'intégrale converge.

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Pour comprendre, fais des exercices !

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