Comment montrer la convergence… : En montrant la convergence de int |f| et… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment montrer la convergence absolue d'une intégrale ?

En montrant la convergence de $\int |f|$ et en concluant par le théorème admis

Établir la convergence d'une intégrale dont l'intégrande change de signe en passant par sa valeur absolue.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\,\mathrm{d}t$ converge.

L'objectif

Établir la convergence d'une intégrale dont l'intégrande change de signe en passant par sa valeur absolue.

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a, +\infty[$ et si $\int_a^{+\infty} |f(t)|\,\mathrm{d}t$ converge, alors $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge (résultat admis : la convergence absolue implique la convergence).

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur $[a, +\infty[$ ; comme $f$ change de signe, je m'intéresse à $|f|$ qui est continue et positive.
2
J'étudie la nature de $\int_a^{+\infty} |f(t)|\,\mathrm{d}t$ par majoration, équivalent ou négligeabilité, en utilisant les théorèmes de comparaison des fonctions positives.
3
Si $\int_a^{+\infty} |f(t)|\,\mathrm{d}t$ converge, je conclus par le théorème admis que $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge (et est dite absolument convergente).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\,\mathrm{d}t$ converge.

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur

[a, +\infty[

; comme

f

change de signe, je m'intéresse à

|f|

qui est continue et positive.

La fonction $f \colon t \mapsto \frac{\sin t}{t^2}$ est continue sur $[1, +\infty[$ et change de signe ; je considère $|f|(t) = \frac{|\sin t|}{t^2}$ , continue et positive.

Étape 2 —

J'étudie la nature de

\int_a^{+\infty} |f(t)|\,\mathrm{d}t

par majoration, équivalent ou négligeabilité, en utilisant les théorèmes de comparaison des fonctions positives.

Pour tout $t \geq 1$ , $0 \leq \frac{|\sin t|}{t^2} \leq \frac{1}{t^2}$ et $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ converge (Riemann, $\alpha = 2 > 1$ ), donc $\int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t^2}\,\mathrm{d}t$ converge par majoration.

Étape 3 —

\int_a^{+\infty} |f(t)|\,\mathrm{d}t

converge, je conclus par le théorème admis que

\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t

converge (et est dite absolument convergente).

$\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\,\mathrm{d}t$ est absolument convergente, donc convergente par le théorème admis.

L'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\,\mathrm{d}t$ converge absolument, donc converge.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment montrer la convergence absolue d'une intégrale ?

En montrant la convergence de ∫∣f∣\int |f|∫∣f∣ et en concluant par le théorème admis

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant la convergence de $\int |f|$ et en concluant par le théorème admis