Comment montrer qu'une famille… : En montrant que tout vecteur du… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment montrer qu'une famille est génératrice d'un sous-espace ?

En montrant que tout vecteur du sous-espace s'écrit comme combinaison linéaire de la famille

Prouver qu'une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ engendre un sous-espace $F$ donné.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y + z = 0\}$ . Montrer que $((1, 1, 0), (-1, 0, 1))$ engendre $F$ .

L'objectif

Prouver qu'une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ engendre un sous-espace $F$ donné.

Le principe

Une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ engendre $F$ si et seulement si $F = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)$ , c'est-à-dire $\forall u \in F,\ \exists (\lambda_1, \ldots, \lambda_p) \in \mathbb{R}^p,\ u = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p$ .

La méthode

1
Je prends un vecteur $u$ quelconque de $F$ et j'écris ses coordonnées en utilisant la définition de $F$ (équations ou paramétrisation).
2
Je cherche des coefficients $\lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \mathbb{R}$ tels que $u = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p$ , soit en factorisant directement, soit en résolvant le système associé.
3
Je vérifie que les $\lambda_i$ existent pour tout $u \in F$ (pas de condition de compatibilité).
4
Je conclus que $(v_1, \ldots, v_p)$ est une famille génératrice de $F$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y + z = 0\}$ . Montrer que $((1, 1, 0), (-1, 0, 1))$ engendre $F$ .

Étape 1 —

Je prends un vecteur

u

quelconque de

F

et j'écris ses coordonnées en utilisant la définition de

F

(équations ou paramétrisation).

Soit $u = (x, y, z) \in F$ ; alors $x = y - z$ , donc $u = (y - z, y, z)$ .

Étape 2 —

Je cherche des coefficients

\lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \mathbb{R}

tels que

u = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p

, soit en factorisant directement, soit en résolvant le système associé.

On cherche $\lambda_1, \lambda_2$ tels que $u = \lambda_1 (1, 1, 0) + \lambda_2 (-1, 0, 1) = (\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_1, \lambda_2)$ . Par identification : $\lambda_1 = y$ et $\lambda_2 = z$ , et alors $\lambda_1 - \lambda_2 = y - z = x$ : ok.

Étape 3 —

Je vérifie que les

\lambda_i

existent pour tout

u \in F

(pas de condition de compatibilité).

Pour tout $u \in F$ , le couple $(\lambda_1, \lambda_2) = (y, z)$ convient sans condition.

Étape 4 —

Je conclus que

(v_1, \ldots, v_p)

est une famille génératrice de

F

$((1,1,0), (-1,0,1))$ est une famille génératrice de $F$ .

$F = \mathrm{Vect}((1,1,0), (-1,0,1))$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.