Comment exprimer un vecteur dans… : En résolvant le système linéaire donnant… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment exprimer un vecteur dans une base ?

En résolvant le système linéaire donnant les coordonnées du vecteur dans la base

Calculer les coordonnées d'un vecteur $u$ dans une base $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $\mathcal{B} = ((1, 1), (1, -1))$ une base de $\mathbb{R}^2$ . Donner les coordonnées de $u = (3, 5)$ dans $\mathcal{B}$ .

L'objectif

Calculer les coordonnées d'un vecteur $u$ dans une base $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ .

Le principe

Si $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ est une base d'un espace vectoriel $E$ , alors pour tout $u \in E$ , il existe un unique $n$ -uplet $(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ tel que $u = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n$ ; les $x_i$ sont les coordonnées de $u$ dans $\mathcal{B}$ .

La méthode

1
Je pose $u = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n$ avec $x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}$ inconnus.
2
Je traduis l'égalité vectorielle en système linéaire scalaire (par identification dans une base de référence ou par identification des coefficients pour les polynômes/matrices).
3
Je résous le système, qui admet une unique solution puisque $\mathcal{B}$ est une base.
4
J'écris les coordonnées de $u$ dans $\mathcal{B}$ : $(x_1, \ldots, x_n)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $\mathcal{B} = ((1, 1), (1, -1))$ une base de $\mathbb{R}^2$ . Donner les coordonnées de $u = (3, 5)$ dans $\mathcal{B}$ .

Étape 1 —

Je pose

u = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n

avec

x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}

inconnus.

On cherche $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ tels que $(3, 5) = x_1 (1, 1) + x_2 (1, -1)$ .

Étape 2 —

Je traduis l'égalité vectorielle en système linéaire scalaire (par identification dans une base de référence ou par identification des coefficients pour les polynômes/matrices).

Cela donne $x_1 + x_2 = 3$ et $x_1 - x_2 = 5$ .

Étape 3 —

Je résous le système, qui admet une unique solution puisque

\mathcal{B}

est une base.

En sommant : $2 x_1 = 8$ , donc $x_1 = 4$ ; en soustrayant : $2 x_2 = -2$ , donc $x_2 = -1$ .

Étape 4 —

J'écris les coordonnées de

u

dans

\mathcal{B}

(x_1, \ldots, x_n)

Les coordonnées de $u$ dans $\mathcal{B}$ sont $(4, -1)$ .

$u = 4 (1,1) - (1,-1)$ , soit $(4, -1)_{\mathcal{B}}$ .

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