Comment construire un IC… : En appliquant le TCL : overline X _n - t… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment construire un IC asymptotique via TCL ?

En appliquant le TCL : $\overline{X}_n - t \cdot S_n/\sqrt{n} < m < \overline{X}_n + t \cdot S_n/\sqrt{n}$ avec $t$ quantile de $\mathcal{N}(0,1)$

Construire un intervalle de confiance asymptotique de niveau $1 - \alpha$ pour l'espérance $m$ d'une loi quelconque admettant un moment d'ordre $2$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Sondage avant un second tour : $n = 1500$ personnes interrogées, $\overline{X}_n = 0{,}52$ . Donner un IC asymptotique à $95\%$ de la proportion $p$ favorable au candidat.

L'objectif

Construire un intervalle de confiance asymptotique de niveau $1 - \alpha$ pour l'espérance $m$ d'une loi quelconque admettant un moment d'ordre $2$ .

Le principe

Le théorème limite central (TCL) donne $\frac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ ; en remplaçant $\sigma$ par la variance empirique $S_n$ (estimateur convergent de $\sigma$ ), on obtient $\mathbb{P}\left(\overline{X}_n - t \frac{S_n}{\sqrt{n}} < m < \overline{X}_n + t \frac{S_n}{\sqrt{n}}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 1 - \alpha$ avec $t$ tel que $\Phi(t) = 1 - \alpha/2$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $X$ admet une espérance $m$ et une variance $\sigma^2 > 0$ , $(X_1, \dots, X_n)$ est un $n$ -échantillon iid avec $n$ grand (typiquement $n \geq 30$ ).
2
J'applique le TCL : $\frac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}}$ converge en loi vers $\mathcal{N}(0,1)$ ; je remplace $\sigma$ par l'écart-type empirique $S_n = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2}$ (ou $\sqrt{p(1-p)}$ remplacé par $\sqrt{\overline{X}_n(1 - \overline{X}_n)}$ pour Bernoulli).
Comment appliquer le théorème central limite pour approximer une probabilité ?Voir
3
Je lis dans la table de $\mathcal{N}(0,1)$ le quantile $t$ tel que $\Phi(t) = 1 - \alpha/2$ (ex. $t \approx 1{,}96$ pour $\alpha = 0{,}05$ ).
4
Je conclus que $\left[\overline{X}_n - t\frac{S_n}{\sqrt{n}}\,;\, \overline{X}_n + t\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right]$ est un IC asymptotique de $m$ au niveau de confiance $1 - \alpha$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Sondage avant un second tour : $n = 1500$ personnes interrogées, $\overline{X}_n = 0{,}52$ . Donner un IC asymptotique à $95\%$ de la proportion $p$ favorable au candidat.

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

X

admet une espérance

m

et une variance

\sigma^2 > 0

(X_1, \dots, X_n)

est un

n

-échantillon iid avec

n

grand (typiquement

n \geq 30

$X \sim \mathcal{B}(p)$ admet $\mathbb{E}(X) = p$ et $\mathbb{V}(X) = p(1-p)$ ; $(X_1, \dots, X_{1500})$ est un $1500$ -échantillon iid (effectif grand).

Étape 2 —

J'applique le TCL :

\frac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}}

converge en loi vers

\mathcal{N}(0,1)

; je remplace

\sigma

par l'écart-type empirique

S_n = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2}

(ou

\sqrt{p(1-p)}

remplacé par

\sqrt{\overline{X}_n(1 - \overline{X}_n)}

pour Bernoulli).

Par TCL, $\frac{\overline{X}_n - p}{\sqrt{p(1-p)/n}}$ converge vers $\mathcal{N}(0,1)$ ; on estime $\sqrt{p(1-p)}$ par $\sqrt{\overline{X}_n(1 - \overline{X}_n)} = \sqrt{0{,}52 \times 0{,}48} \approx 0{,}4996$ .

Étape 3 —

Je lis dans la table de

\mathcal{N}(0,1)

le quantile

t

tel que

\Phi(t) = 1 - \alpha/2

(ex.

t \approx 1{,}96

pour

\alpha = 0{,}05

Pour $\alpha = 0{,}05$ , $t = 1{,}96$ .

Étape 4 —

Je conclus que

\left[\overline{X}_n - t\frac{S_n}{\sqrt{n}}\,;\, \overline{X}_n + t\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right]

est un IC asymptotique de

m

au niveau de confiance

1 - \alpha

Demi-largeur : $1{,}96 \times \frac{0{,}4996}{\sqrt{1500}} \approx 0{,}0253$ , donc IC asymptotique à $95\%$ : $[0{,}495\,;\, 0{,}545]$ — le second tour reste incertain.

IC asymptotique à $95\%$ pour $p$ : $[0{,}495\,;\, 0{,}545]$ .

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Comment construire un IC asymptotique via TCL ?

En appliquant le TCL : X‾n−t⋅Sn/n<m<X‾n+t⋅Sn/n\overline{X}_n - t \cdot S_n/\sqrt{n} < m < \overline{X}_n + t \cdot S_n/\sqrt{n}Xn​−t⋅Sn​/n​<m<Xn​+t⋅Sn​/n​ avec ttt quantile de N(0,1)\mathcal{N}(0,1)N(0,1)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant le TCL : $\overline{X}_n - t \cdot S_n/\sqrt{n} < m < \overline{X}_n + t \cdot S_n/\sqrt{n}$ avec $t$ quantile de $\mathcal{N}(0,1)$