Comment construire un IC pour la… : En utilisant overline X _n sim N(m… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment construire un IC pour la moyenne d'une loi normale (écart-type connu) ?

En utilisant $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)$ et en lisant $t$ tel que $\Phi(t) = 1 - \alpha/2$

Construire un intervalle de confiance exact de niveau $1 - \alpha$ pour la moyenne $m$ d'une loi normale d'écart-type $\sigma$ connu.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On mesure le QI de $n = 100$ personnes ( $X \sim \mathcal{N}(m, 15^2)$ avec $\sigma = 15$ connu) et on observe $\overline{X}_n = 102$ . Donner un IC à $95\%$ de $m$ .

L'objectif

Construire un intervalle de confiance exact de niveau $1 - \alpha$ pour la moyenne $m$ d'une loi normale d'écart-type $\sigma$ connu.

Le principe

Si $X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$ avec $\sigma$ connu, alors $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)$ et $Z_n = \frac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)$ ; en lisant $t$ tel que $\Phi(t) = 1 - \alpha/2$ , l'IC exact de $m$ au niveau $1 - \alpha$ est $\left[\overline{X}_n - t \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,;\, \overline{X}_n + t \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$ avec $\sigma > 0$ connu, et $(X_1, \dots, X_n)$ est un $n$ -échantillon de la loi de $X$ .
2
J'utilise le fait qu'une combinaison linéaire de variables normales indépendantes reste normale : $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)$ , donc $Z_n = \frac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)$ .
Comment se ramener à la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ ?Voir
3
Je cherche dans la table de la loi normale centrée réduite la valeur $t$ telle que $\Phi(t) = 1 - \alpha/2$ , ce qui garantit $\mathbb{P}([-t \leq Z_n \leq t]) = 1 - \alpha$ .
4
Je traduis l'encadrement $-t \leq Z_n \leq t$ en $\overline{X}_n - t\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{X}_n + t\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ et je conclus : l'IC exact de $m$ au niveau $1 - \alpha$ est $\left[\overline{X}_n - t\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,;\, \overline{X}_n + t\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On mesure le QI de $n = 100$ personnes ( $X \sim \mathcal{N}(m, 15^2)$ avec $\sigma = 15$ connu) et on observe $\overline{X}_n = 102$ . Donner un IC à $95\%$ de $m$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)

avec

\sigma > 0

connu, et

(X_1, \dots, X_n)

est un

n

-échantillon de la loi de

X

$X \sim \mathcal{N}(m, 15^2)$ avec $\sigma = 15$ connu, $(X_1, \dots, X_{100})$ est un $100$ -échantillon iid.

Étape 2 —

J'utilise le fait qu'une combinaison linéaire de variables normales indépendantes reste normale :

\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)

, donc

Z_n = \frac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)

$\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, 15^2/100) = \mathcal{N}(m, 2{,}25)$ , donc $Z_n = \frac{\overline{X}_n - m}{1{,}5} \sim \mathcal{N}(0,1)$ .

Étape 3 —

Je cherche dans la table de la loi normale centrée réduite la valeur

t

telle que

\Phi(t) = 1 - \alpha/2

, ce qui garantit

\mathbb{P}([-t \leq Z_n \leq t]) = 1 - \alpha

Pour $\alpha = 0{,}05$ , on lit $t$ tel que $\Phi(t) = 0{,}975$ , soit $t \approx 1{,}96$ .

Étape 4 —

Je traduis l'encadrement

-t \leq Z_n \leq t

\overline{X}_n - t\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{X}_n + t\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

et je conclus : l'IC exact de

m

au niveau

1 - \alpha

est

\left[\overline{X}_n - t\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,;\, \overline{X}_n + t\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]

L'IC à $95\%$ est $\left[102 - 1{,}96 \times 1{,}5\,;\, 102 + 1{,}96 \times 1{,}5\right] = [99{,}06\,;\, 104{,}94]$ .

IC à $95\%$ pour $m$ : $[99{,}06\,;\, 104{,}94]$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment construire un IC pour la moyenne d'une loi normale (écart-type connu) ?

En utilisant X‾n∼N(m,σ2/n)\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)Xn​∼N(m,σ2/n) et en lisant ttt tel que Φ(t)=1−α/2\Phi(t) = 1 - \alpha/2Φ(t)=1−α/2

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)$ et en lisant $t$ tel que $\Phi(t) = 1 - \alpha/2$