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Comment montrer qu'une application est linéaire ?

En vérifiant $f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$

Prouver qu'une application $f \colon E \to F$ entre deux $\mathbb{R}$ -espaces vectoriels est linéaire.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y) = (2x - y, x + 3y)$ . Montrer que $f$ est linéaire.

L'objectif

Prouver qu'une application $f \colon E \to F$ entre deux $\mathbb{R}$ -espaces vectoriels est linéaire.

Le principe

$f$ est linéaire si et seulement si pour tous $u, v \in E$ et tous $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ , $f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$ .

La méthode

1
Je vérifie d'abord que $f$ est bien définie de $E$ dans $F$ , puis je me donne $u, v \in E$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ quelconques.
2
Je calcule $f(\lambda u + \mu v)$ en utilisant l'expression de $f$ .
3
Je transforme l'expression obtenue pour la mettre sous la forme $\lambda f(u) + \mu f(v)$ .
4
Je conclus : « pour tous $u, v \in E$ et tous $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ , $f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$ », donc $f$ est linéaire.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y) = (2x - y, x + 3y)$ . Montrer que $f$ est linéaire.

Étape 1 —

Je vérifie d'abord que

f

est bien définie de

E

dans

F

, puis je me donne

u, v \in E

\lambda, \mu \in \mathbb{R}

quelconques.

Soient $u = (x_1, y_1)$ , $v = (x_2, y_2)$ dans $\mathbb{R}^2$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Je calcule

f(\lambda u + \mu v)

en utilisant l'expression de

f

$\lambda u + \mu v = (\lambda x_1 + \mu x_2,\ \lambda y_1 + \mu y_2)$ , donc $f(\lambda u + \mu v) = (2(\lambda x_1 + \mu x_2) - (\lambda y_1 + \mu y_2),\ (\lambda x_1 + \mu x_2) + 3(\lambda y_1 + \mu y_2))$ .

Étape 3 —

Je transforme l'expression obtenue pour la mettre sous la forme

\lambda f(u) + \mu f(v)

En regroupant : $f(\lambda u + \mu v) = \lambda(2x_1 - y_1, x_1 + 3y_1) + \mu(2x_2 - y_2, x_2 + 3y_2) = \lambda f(u) + \mu f(v)$ .

Étape 4 —

Je conclus : « pour tous

u, v \in E

et tous

\lambda, \mu \in \mathbb{R}

f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)

», donc

f

est linéaire.

L'égalité étant vraie pour tous $u, v, \lambda, \mu$ , $f$ est linéaire.

$f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ .

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En vérifiant f(λu+μv)=λf(u)+μf(v)f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)f(λu+μv)=λf(u)+μf(v)

Pour comprendre, fais des exercices !

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