Comment appliquer l'inégalité… : En majorant |f(b)-sum_ k=0 ^n f^ (k)… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange ?

En majorant $\left|f(b)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k\right| \leq \frac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}\sup_{[a,b]}|f^{(n+1)}|$

Contrôler quantitativement l'erreur entre $f(b)$ et le polynôme de Taylor à l'ordre $n$ en $a$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $\mathrm{e}^x = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}$ .

L'objectif

Contrôler quantitativement l'erreur entre $f(b)$ et le polynôme de Taylor à l'ordre $n$ en $a$ .

Le principe

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur un intervalle contenant $a$ et $b$ , et si $M_{n+1} = \sup_{t\in[a,b]}|f^{(n+1)}(t)|$ , alors $\left|f(b) - \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k\right| \leq \dfrac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}\, M_{n+1}$ .

La méthode

1
On vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur un intervalle contenant $a$ et $b$ .
Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ ?Voir
2
On détermine un majorant explicite $M_{n+1}$ de $|f^{(n+1)}|$ sur le segment $[a,b]$ (ou $[b,a]$ ), en calculant $f^{(n+1)}$ puis en la majorant en valeur absolue.
3
On écrit l'inégalité de Taylor-Lagrange : $\left|f(b) - \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k\right| \leq \dfrac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}\,M_{n+1}$ .
4
On exploite la majoration : obtenir une valeur approchée avec erreur contrôlée, prouver la convergence du reste vers $0$ quand $n\to+\infty$ , ou démontrer un développement en série.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $\mathrm{e}^x = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}$ .

Étape 1 —

On vérifie que

f

est de classe

\mathcal{C}^{n+1}

sur un intervalle contenant

a

b

$f \colon t\mapsto \mathrm{e}^t$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ , donc $\mathcal{C}^{n+1}$ pour tout $n$ , sur le segment $[0,x]$ (ou $[x,0]$ ).

Étape 2 —

On détermine un majorant explicite

M_{n+1}

|f^{(n+1)}|

sur le segment

[a,b]

(ou

[b,a]

), en calculant

f^{(n+1)}

puis en la majorant en valeur absolue.

Sur le segment d'extrémités $0$ et $x$ , $|f^{(n+1)}(t)|=\mathrm{e}^t \leq \mathrm{e}^{|x|}$ , donc $M_{n+1} = \mathrm{e}^{|x|}$ .

Étape 3 —

On écrit l'inégalité de Taylor-Lagrange :

\left|f(b) - \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k\right| \leq \dfrac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}\,M_{n+1}

L'inégalité donne : $\left|\mathrm{e}^x - \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}\right| \leq \dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{e}^{|x|}$ .

Étape 4 —

On exploite la majoration : obtenir une valeur approchée avec erreur contrôlée, prouver la convergence du reste vers

0

quand

n\to+\infty

, ou démontrer un développement en série.

Puisque $\dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$ (croissance comparée), le reste tend vers $0$ , donc $\mathrm{e}^x = \sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}$ .

$\forall x\in\mathbb{R},\ \mathrm{e}^x = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}$ .

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