Comment étudier une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ ?

Je pose $f(x)=\sqrt{x+2}$, définie et croissante sur $[-2,+\infty[$. Points fixes : $\sqrt{x+2}=x \Leftrightarrow x+2=x^2, x \geq 0$, donne $x=2$.

Je montre que $I=[1,2]$ est stable : pour $x \in [1,2]$, $\sqrt{x+2}\in [\sqrt{3},2]\subset [1,2]$. Par récurrence, $u_n \in [1,2]$.

Sur $[1,2]$, $f(x)-x=\sqrt{x+2}-x \geq 0$ (car $x=2$ est le seul point fixe et $f(1)-1=\sqrt{3}-1>0$). Donc $u_{n+1}\geq u_n$ : $(u_n)$ est croissante.

Croissante et majorée par $2$, $(u_n)$ converge vers l'unique point fixe $\ell=2$ de $f$ dans $[1,2]$.