Comment utiliser les… : En appliquant (ln n)^b ll n^a ll q^n ll… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment utiliser les croissances comparées sur une suite ?

En appliquant $(\ln n)^b \ll n^a \ll q^n \ll n!$

Calculer la limite d'une suite mélangeant logarithmes, puissances, exponentielles et factorielles en exploitant leur hiérarchie asymptotique.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ avec $u_n = \frac{n^{10}}{2^n}$ .

L'objectif

Calculer la limite d'une suite mélangeant logarithmes, puissances, exponentielles et factorielles en exploitant leur hiérarchie asymptotique.

Le principe

Pour $a>0$ , $b>0$ , $q>1$ , on a $\frac{(\ln n)^b}{n^a}\to 0$ , $\frac{n^a}{q^n}\to 0$ et $\frac{q^n}{n!}\to 0$ quand $n\to+\infty$ ; plus rapidement : $(\ln n)^b \ll n^a \ll q^n \ll n!$ .

La méthode

1
J'identifie au numérateur et au dénominateur les termes comparables par la hiérarchie $\ln\ll$ puissance $\ll$ exponentielle $\ll$ factorielle.
2
Je factorise par le terme dominant pour faire apparaître des quotients tendant vers $0$ .
3
J'applique les croissances comparées pour conclure sur la limite de chaque quotient résiduel.
Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?Voir
4
Je combine les limites par opérations algébriques et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ avec $u_n = \frac{n^{10}}{2^n}$ .

Étape 1 —

J'identifie au numérateur et au dénominateur les termes comparables par la hiérarchie

\ln\ll

puissance

\ll

exponentielle

\ll

factorielle.

Le numérateur est une puissance $n^{10}$ , le dénominateur est une exponentielle $2^n$ avec $2>1$ .

Étape 2 —

Je factorise par le terme dominant pour faire apparaître des quotients tendant vers

0

Pas de factorisation nécessaire : le quotient est déjà de la forme $\frac{n^a}{q^n}$ avec $a=10$ , $q=2$ .

Étape 3 —

J'applique les croissances comparées pour conclure sur la limite de chaque quotient résiduel.

Par croissances comparées, $\frac{n^{10}}{2^n}\to 0$ car $n^a\ll q^n$ pour $q>1$ .

Étape 4 —

Je combine les limites par opérations algébriques et je conclus.

Donc $u_n\to 0$ .

$\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$ .

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Comment utiliser les croissances comparées sur une suite ?

En appliquant (ln⁡n)b≪na≪qn≪n!(\ln n)^b \ll n^a \ll q^n \ll n!(lnn)b≪na≪qn≪n!

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $(\ln n)^b \ll n^a \ll q^n \ll n!$