Comment appliquer la négligeabilité $u_n=o(v_n)$ avec $v_n$ positive convergente ?

En montrant $u_n=o(v_n)$ avec $\sum v_n$ positive convergente

Démontrer la convergence d'une série en exploitant une relation de négligeabilité avec une série convergente à termes positifs.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{\ln n}{n^2}$ .

L'objectif

Démontrer la convergence d'une série en exploitant une relation de négligeabilité avec une série convergente à termes positifs.

Le principe

Si $v_n\geq 0$ , $\sum v_n$ converge et $u_n=o(v_n)$ , alors $\sum u_n$ est absolument convergente, donc convergente.

La méthode

1
On cherche une suite positive $v_n\geq 0$ telle que $\sum v_n$ converge (typiquement Riemann avec $\alpha>1$ , géométrique ou exponentielle).
2
On montre $u_n=o(v_n)$ , c'est-à-dire $u_n/v_n\to 0$ (souvent par croissances comparées).
Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?Voir
3
Par le théorème de négligeabilité, $\sum |u_n|$ converge, et donc $\sum u_n$ converge.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{\ln n}{n^2}$ .

Étape 1 —

On cherche une suite positive

v_n\geq 0

telle que

\sum v_n

converge (typiquement Riemann avec

\alpha>1

, géométrique ou exponentielle).

Je pose $v_n=1/n^{3/2}$ : $v_n\geq 0$ et $\sum 1/n^{3/2}$ converge ( $\alpha=3/2>1$ ).

Étape 2 —

On montre

u_n=o(v_n)

, c'est-à-dire

u_n/v_n\to 0

(souvent par croissances comparées).

$\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{\ln n/n^2}{1/n^{3/2}}=\dfrac{\ln n}{n^{1/2}}\to 0$ par croissances comparées, donc $u_n=o(v_n)$ .

Étape 3 —

Par le théorème de négligeabilité,

\sum |u_n|

converge, et donc

\sum u_n

converge.

Par négligeabilité, $\sum \dfrac{\ln n}{n^2}$ converge.

$\sum_{n\geq 1} \dfrac{\ln n}{n^2}$ converge.

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Comment appliquer la négligeabilité un=o(vn)u_n=o(v_n)un​=o(vn​) avec vnv_nvn​ positive convergente ?

En montrant un=o(vn)u_n=o(v_n)un​=o(vn​) avec ∑vn\sum v_n∑vn​ positive convergente

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment appliquer la négligeabilité $u_n=o(v_n)$ avec $v_n$ positive convergente ?

En montrant $u_n=o(v_n)$ avec $\sum v_n$ positive convergente