Comment factor… : En divisant P par (X - a) — ECG1 approfondies | MetMat

Comment factoriser à partir d'une racine connue ?

En divisant $P$ par $(X - a)$

Obtenir la factorisation $P(X) = (X - a) Q(X)$ et faire apparaître un polynôme $Q$ de degré $\deg(P) - 1$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Factoriser $P(X) = X^3 - 3X^2 + 4$ sachant que $2$ est racine.

L'objectif

Obtenir la factorisation $P(X) = (X - a) Q(X)$ et faire apparaître un polynôme $Q$ de degré $\deg(P) - 1$ .

Le principe

Si $a$ est racine de $P$ , alors $(X - a)$ divise $P$ : il existe $Q \in \mathbb{R}[X]$ tel que $P(X) = (X - a) Q(X)$ avec $\deg(Q) = \deg(P) - 1$ .

La méthode

1
Je vérifie $P(a) = 0$ pour m'assurer que $a$ est bien racine de $P$ .
2
J'effectue la division euclidienne de $P$ par $(X - a)$ ; le reste doit être nul.
Comment effectuer une division euclidienne ?Voir
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J'écris $P(X) = (X - a) Q(X)$ où $Q$ est le quotient obtenu.
4
Si besoin, je poursuis la factorisation de $Q$ par les mêmes techniques (racine évidente, discriminant si $\deg Q = 2$ …).
Comment déterminer les racines d'un polynôme de degré 2 ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Factoriser $P(X) = X^3 - 3X^2 + 4$ sachant que $2$ est racine.

Étape 1 —

Je vérifie

P(a) = 0

pour m'assurer que

a

est bien racine de

P

Je vérifie : $P(2) = 8 - 12 + 4 = 0$ , donc $2$ est bien racine.

Étape 2 —

J'effectue la division euclidienne de

P

par

(X - a)

; le reste doit être nul.

Division euclidienne de $P$ par $(X - 2)$ : $X^3 - 3X^2 + 4 = (X - 2)(X^2 - X - 2) + 0$ (reste nul, cohérent).

Étape 3 —

J'écris

P(X) = (X - a) Q(X)

où

Q

est le quotient obtenu.

J'écris $P(X) = (X - 2)(X^2 - X - 2)$ .

Étape 4 —

Si besoin, je poursuis la factorisation de

Q

par les mêmes techniques (racine évidente, discriminant si

\deg Q = 2

…).

Je factorise $Q(X) = X^2 - X - 2$ : $\Delta = 1 + 8 = 9$ , racines $x_1 = -1$ et $x_2 = 2$ , donc $Q(X) = (X + 1)(X - 2)$ . Au final $P(X) = (X - 2)^2 (X + 1)$ .

$P(X) = (X - 2)^2 (X + 1)$ .

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Comment factoriser à partir d'une racine connue ?

En divisant PPP par (X−a)(X - a)(X−a)

Pour comprendre, fais des exercices !

En divisant $P$ par $(X - a)$