Comment déterminer les racines… : En calculant le discriminant Delta =… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment déterminer les racines d'un polynôme de degré 2 ?

En calculant le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $aX^2 + bX + c = 0$ avec $a \neq 0$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer les racines réelles de $P(X) = X^2 - 5X + 6$ .

L'objectif

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $aX^2 + bX + c = 0$ avec $a \neq 0$ .

Le principe

Pour $P(X) = aX^2 + bX + c$ avec $a \neq 0$ , on pose $\Delta = b^2 - 4ac$ : si $\Delta > 0$ deux racines réelles distinctes, si $\Delta = 0$ une racine double, si $\Delta < 0$ aucune racine réelle.

La méthode

1
J'identifie les coefficients $a$ , $b$ , $c$ en vérifiant $a \neq 0$ .
2
Je calcule $\Delta = b^2 - 4ac$ .
3
Je discute selon le signe de $\Delta$ : si $\Delta > 0$ , $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta = 0$ , racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ ; si $\Delta < 0$ , pas de racine dans $\mathbb{R}$ .
4
Je conclus en donnant la liste des racines réelles et la factorisation éventuelle $P(X) = a(X - x_1)(X - x_2)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer les racines réelles de $P(X) = X^2 - 5X + 6$ .

Étape 1 —

J'identifie les coefficients

a

b

c

en vérifiant

a \neq 0

J'ai $a = 1 \neq 0$ , $b = -5$ , $c = 6$ .

Étape 2 —

Je calcule

\Delta = b^2 - 4ac

Je calcule $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$ .

Étape 3 —

Je discute selon le signe de

\Delta

: si

\Delta > 0

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

; si

\Delta = 0

, racine double

x_0 = -\dfrac{b}{2a}

; si

\Delta < 0

, pas de racine dans

\mathbb{R}

$\Delta > 0$ donc deux racines : $x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$ .

Étape 4 —

Je conclus en donnant la liste des racines réelles et la factorisation éventuelle

P(X) = a(X - x_1)(X - x_2)

Je conclus : racines $\{2, 3\}$ , et $P(X) = (X - 2)(X - 3)$ .

Racines : $2$ et $3$ ; $P(X) = (X-2)(X-3)$ .

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Comment déterminer les racines d'un polynôme de degré 2 ?

En calculant le discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$