Comment prolonger une fonction par continuité ?

$f$ est continue sur $\mathbb{R}^*$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas ; le point problématique est $a = 0$.

Par le taux d'accroissement de $\sin$ en $0$, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \sin'(0) = \cos(0) = 1$, limite finie.

On pose $\tilde f(0) = 1$ et $\tilde f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ pour $x \neq 0$ : $\tilde f$ est continue sur $\mathbb{R}$.