Comment montrer qu'une fonction… : En vérifiant lim_ x→ a f(x)=f(a) — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?

En vérifiant $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$

Prouver la continuité de $f$ en un point $a$ en vérifiant l'égalité $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ , notamment pour une fonction définie par morceaux.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ pour $x\neq 1$ et $f(1)=2$ . Montrer que $f$ est continue en $1$ .

L'objectif

Prouver la continuité de $f$ en un point $a$ en vérifiant l'égalité $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ , notamment pour une fonction définie par morceaux.

Le principe

Une fonction $f$ définie sur $I$ est continue en $a\in I$ si et seulement si $\lim_{x\to a} f(x)$ existe et vaut $f(a)$ (avec éventuellement les deux limites latérales pour une fonction définie par morceaux).

La méthode

1
Je repère le point $a$ où j'étudie la continuité (souvent un point de raccord d'une fonction par morceaux) et je calcule $f(a)$ .
2
Je calcule $\lim_{x\to a^-} f(x)$ et $\lim_{x\to a^+} f(x)$ en utilisant l'expression de $f$ à gauche et à droite de $a$ .
3
Je vérifie l'égalité $\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a)$ .
4
Je conclus que $f$ est continue en $a$ (ou non, selon l'égalité).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ pour $x\neq 1$ et $f(1)=2$ . Montrer que $f$ est continue en $1$ .

Étape 1 —

Je repère le point

a

où j'étudie la continuité (souvent un point de raccord d'une fonction par morceaux) et je calcule

f(a)

Je pose $a=1$ et je note $f(1)=2$ par définition.

Étape 2 —

Je calcule

\lim_{x\to a^-} f(x)

\lim_{x\to a^+} f(x)

en utilisant l'expression de

f

à gauche et à droite de

a

Pour $x\neq 1$ , $f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ , donc $\lim_{x\to 1} f(x)=2$ (limite unique à gauche et à droite).

Étape 3 —

Je vérifie l'égalité

\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a)

Je compare : $\lim_{x\to 1} f(x)=2=f(1)$ , l'égalité est vérifiée.

Étape 4 —

Je conclus que

f

est continue en

a

(ou non, selon l'égalité).

Je conclus que $f$ est continue en $1$ .

$f$ est continue en $1$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?

En vérifiant lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a} f(x)=f(a)limx→a​f(x)=f(a)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$