Comment montrer qu'un ensemble… : En exhibant F comme Vect d'une famille… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel ?

En exhibant F comme Vect d'une famille finie

Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel en l'identifiant à $\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - 2z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel en l'identifiant à $\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)$ .

Le principe

Pour toute famille finie $(v_1, \ldots, v_p)$ de vecteurs de $E$ , $\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ (c'est le plus petit contenant les $v_i$ ).

La méthode

1
Je paramètre les éléments de $F$ par un ou plusieurs réels, en réécrivant la condition définissant $F$ .
2
Je factorise chaque élément générique de $F$ comme combinaison linéaire de vecteurs fixes $v_1, \ldots, v_p$ .
3
J'en déduis l'égalité $F = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)$ .
4
Je conclus que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ comme engendré par une famille finie.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - 2z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

Je paramètre les éléments de

F

par un ou plusieurs réels, en réécrivant la condition définissant

F

La condition $x + y - 2z = 0$ donne $x = -y + 2z$ , donc un élément générique s'écrit $(-y + 2z, y, z)$ avec $(y, z) \in \mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Je factorise chaque élément générique de

F

comme combinaison linéaire de vecteurs fixes

v_1, \ldots, v_p

On a $(-y + 2z, y, z) = y(-1, 1, 0) + z(2, 0, 1)$ .

Étape 3 —

J'en déduis l'égalité

F = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)

Donc $F = \mathrm{Vect}((-1, 1, 0), (2, 0, 1))$ .

Étape 4 —

Je conclus que

F

est un sous-espace vectoriel de

E

comme engendré par une famille finie.

$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ comme engendré par une famille finie.

$F = \mathrm{Vect}((-1, 1, 0), (2, 0, 1))$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

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