Comment montrer l'égalité de… : En prouvant la double inclusion — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer l'égalité de deux ensembles ?

En prouvant la double inclusion

Prouver l'égalité de deux ensembles par un raisonnement en deux temps.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$ et $B = \{1, 2\}$ . Montrer que $A = B$ .

L'objectif

Prouver l'égalité de deux ensembles par un raisonnement en deux temps.

Le principe

Deux ensembles sont égaux si et seulement si chacun est inclus dans l'autre : $A = B \Leftrightarrow (A \subset B \text{ et } B \subset A)$ .

La méthode

1
Je procède par double inclusion.
2
Je prouve $A \subset B$ en prenant un $x$ quelconque de $A$ et en montrant $x \in B$ .
3
Je prouve $B \subset A$ en prenant un $x$ quelconque de $B$ et en montrant $x \in A$ .
4
Je conclus par $A \subset B$ et $B \subset A$ , donc $A = B$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soient $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$ et $B = \{1, 2\}$ . Montrer que $A = B$ .

Étape 1 —

Je procède par double inclusion.

On montre $A = B$ par double inclusion.

Étape 2 —

Je prouve

A \subset B

en prenant un

x

quelconque de

A

et en montrant

x \in B

Soit $x \in A$ : $x^2 - 3x + 2 = 0$ , soit $(x-1)(x-2) = 0$ , donc $x = 1$ ou $x = 2$ , d'où $x \in B$ : $A \subset B$ .

Étape 3 —

Je prouve

B \subset A

en prenant un

x

quelconque de

B

et en montrant

x \in A

Réciproquement, on vérifie $1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 0$ et $2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 0$ , donc $1, 2 \in A$ : $B \subset A$ .

Étape 4 —

Je conclus par

A \subset B

B \subset A

, donc

A = B

Par double inclusion, $A = B$ .

$A = \{1, 2\}$ .

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