Comment montrer qu'une fonction est convexe ?

En montrant $f'' \geq 0$ sur $I$ (cas $\mathcal{C}^2$ )

Montrer rapidement qu'une fonction $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle $I$ est convexe via le signe de $f''$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f\colon x\mapsto \mathrm{e}^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Montrer rapidement qu'une fonction $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle $I$ est convexe via le signe de $f''$ .

Le principe

Si $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle $I$ , $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''\geq 0$ sur $I$ (résultat admis au programme de l'ECG appro).

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur l'intervalle $I$ et je calcule $f''(x)$ .
2
J'étudie le signe de $f''$ sur $I$ (factorisation, tableau de signes si besoin).
3
Si $f''(x)\geq 0$ pour tout $x\in I$ , je conclus que $f$ est convexe sur $I$ ; si $f''(x)\leq 0$ , $f$ est concave.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $f\colon x\mapsto \mathrm{e}^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est

\mathcal{C}^2

sur l'intervalle

I

et je calcule

f''(x)

.

$f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ ; $f'(x)=\mathrm{e}^x$ et $f''(x)=\mathrm{e}^x$ .

Étape 2 —

J'étudie le signe de

f''

sur

I

(factorisation, tableau de signes si besoin).

Pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $\mathrm{e}^x>0$ .

Étape 3 —

Si

f''(x)\geq 0

pour tout

x\in I

, je conclus que

f

est convexe sur

I

; si

f''(x)\leq 0

,

f

est concave.

$f''\geq 0$ sur $\mathbb{R}$ , donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

$\mathrm{e}^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

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En montrant $f'' \geq 0$ sur $I$ (cas $\mathcal{C}^2$ )