Comment caractériser la convexité par la monotonie de $f'$ ou la position par rapport aux tangentes ?

$f(x)=\mathrm{e}^x$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ ; la tangente en $a=0$ a pour équation $y=f(0)+f'(0)(x-0)=1+x$.

Je pose $\varphi(x)=\mathrm{e}^x-(1+x)$ ; je souhaite montrer $\varphi(x)\geq 0$.

$\varphi'(x)=\mathrm{e}^x-1$ s'annule en $0$, est négative sur $\mathbb{R}_-$ et positive sur $\mathbb{R}_+$ ; donc $\varphi$ admet un minimum en $0$ avec $\varphi(0)=0$, d'où $\varphi\geq 0$.

$\mathcal{C}_{\exp}$ est au-dessus de sa tangente en $0$ : $\mathrm{e}^x\geq 1+x$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.