Comment déterminer l'image d'une application linéaire ?

En calculant l'image d'une famille génératrice de $E$

Déterminer $\mathrm{Im}\,f$ sous forme d'un sous-espace engendré, puis en extraire une base.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ , $f(x,y)=(x+y,\ x-y,\ 2x)$ . Déterminer $\mathrm{Im}\,f$ .

L'objectif

Déterminer $\mathrm{Im}\,f$ sous forme d'un sous-espace engendré, puis en extraire une base.

Le principe

Si $(e_1,\ldots,e_n)$ engendre $E$ , alors $\mathrm{Im}\,f=\mathrm{Vect}(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ .

La méthode

1
On choisit une famille génératrice de $E$ , en général la base canonique $(e_1,\ldots,e_n)$ .
Comment montrer qu'une famille est génératrice ?Voir
2
On calcule chaque image $f(e_i)$ et on écrit $\mathrm{Im}\,f=\mathrm{Vect}(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ .
3
On extrait une base de $\mathrm{Im}\,f$ en retirant les vecteurs combinaison linéaire des précédents.
4
On conclut en donnant la base et la dimension de $\mathrm{Im}\,f$ , c'est-à-dire $\mathrm{rg}(f)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ , $f(x,y)=(x+y,\ x-y,\ 2x)$ . Déterminer $\mathrm{Im}\,f$ .

Étape 1 —

On choisit une famille génératrice de

E

, en général la base canonique

(e_1,\ldots,e_n)

.

Je prends la base canonique $(e_1,e_2)=((1,0),(0,1))$ de $\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

On calcule chaque image

f(e_i)

et on écrit

\mathrm{Im}\,f=\mathrm{Vect}(f(e_1),\ldots,f(e_n))

.

$f(e_1)=(1,1,2)$ et $f(e_2)=(1,-1,0)$ , donc $\mathrm{Im}\,f=\mathrm{Vect}((1,1,2),(1,-1,0))$ .

Étape 3 —

On extrait une base de

\mathrm{Im}\,f

en retirant les vecteurs combinaison linéaire des précédents.

Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires (premier rapport $1$ , deuxième $-1$ ), donc la famille est libre.

Étape 4 —

On conclut en donnant la base et la dimension de

\mathrm{Im}\,f

, c'est-à-dire

\mathrm{rg}(f)

.

$((1,1,2),(1,-1,0))$ est une base de $\mathrm{Im}\,f$ , donc $\mathrm{rg}(f)=2$ .

$\mathrm{Im}\,f=\mathrm{Vect}((1,1,2),(1,-1,0))$ , $\mathrm{rg}(f)=2$ .

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Comment déterminer l'image d'une application linéaire ?

En calculant l'image d'une famille génératrice de EEE

Pour comprendre, fais des exercices !

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