Comment calculer la limite d'une… : En levant une forme indéterminée par… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?

En levant une forme indéterminée par factorisation ou croissances comparées

Lever une forme indéterminée en transformant l'expression pour faire apparaître une limite calculable.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{e^x}$ .

L'objectif

Lever une forme indéterminée en transformant l'expression pour faire apparaître une limite calculable.

Le principe

Face à une forme indéterminée, on transforme l'expression : factorisation par le terme dominant (polynômes, fractions rationnelles), multiplication par la quantité conjuguée (racines), ou utilisation des croissances comparées ( $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^\alpha}=0$ pour $\alpha>0$ , $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^n}{e^x}=0$ pour $n\geq 0$ , $\lim_{x\to 0^+} x^\alpha\ln x=0$ pour $\alpha>0$ ).

La méthode

1
J'identifie la forme indéterminée en calculant les limites naïves ( $\infty-\infty$ , $0\times\infty$ , etc.).
2
Je choisis la technique adaptée : factorisation par le terme dominant pour les polynômes/fractions, quantité conjuguée pour les racines, croissances comparées pour les combinaisons polynôme/exp/log.
Comment utiliser les croissances comparées pour lever une forme indéterminée ?Voir
3
Je simplifie l'expression obtenue et je conclus par application des limites usuelles.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{e^x}$ .

Étape 1 —

J'identifie la forme indéterminée en calculant les limites naïves (

\infty-\infty

0\times\infty

, etc.).

En $+\infty$ , $x^2\to+\infty$ et $e^x\to+\infty$ : forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ .

Étape 2 —

Je choisis la technique adaptée : factorisation par le terme dominant pour les polynômes/fractions, quantité conjuguée pour les racines, croissances comparées pour les combinaisons polynôme/exp/log.

On applique la croissance comparée : $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^n}{e^x}=0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance).

Étape 3 —

Je simplifie l'expression obtenue et je conclus par application des limites usuelles.

Avec $n=2$ , on obtient $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{e^x}=0$ .

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{e^x}=0$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.