L'objectif

Montrer qu'une suite $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers le point fixe $\ell$ de $f$ en utilisant l'IAF.

Le principe

Si $f$ est dérivable sur un intervalle stable $I$ , admet un point fixe $\ell\in I$ et vérifie $|f'(x)|\leq k<1$ pour tout $x\in I$ , alors toute suite $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0\in I$ vérifie $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|$ , donc $u_n\to\ell$ .

La méthode

1
Je vérifie que l'intervalle $I$ est stable par $f$ (si $x\in I$ , alors $f(x)\in I$ ) et j'identifie le point fixe $\ell$ en résolvant $f(\ell)=\ell$ .
2
Je calcule $f'$ et je détermine $k<1$ tel que $|f'(x)|\leq k$ pour tout $x\in I$ ; par IAF, $|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\leq k|u_n-\ell|$ .
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?Voir
3
Par récurrence, $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|$ ; comme $0\leq k<1$ , $k^n\to 0$ et par encadrement $u_n\to\ell$ .
Comment démontrer une propriété dépendant d'un entier par récurrence ?Voir

Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ?

En prouvant la convergence d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $|f'|\leq k<1$ (suite contractante)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ?

En prouvant la convergence d'une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1​=f(un​) avec ∣f′∣≤k<1|f'|\leq k<1∣f′∣≤k<1 (suite contractante)

Pour comprendre, fais des exercices !

En prouvant la convergence d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $|f'|\leq k<1$ (suite contractante)