Comment étudier algébriquement les variations d'une fonction de référence ?

Pour $f(x) = \sqrt{x}$ : utiliser $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}} > 0$ pour $0 \leq a < b$ pour montrer que $f$ est croissante

Montrer par le calcul que $f(x) = \sqrt{x}$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x) = \sqrt{x}$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ par le calcul.

L'objectif

Montrer par le calcul que $f(x) = \sqrt{x}$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

Le principe

En multipliant et divisant par la quantité conjuguée $\sqrt{b} + \sqrt{a}$ , on obtient $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$ , fraction positive pour $0 \leq a < b$ .

La méthode

1
Prendre $0 \leq a < b$ et écrire $f(b) - f(a) = \sqrt{b} - \sqrt{a}$ .
2
Multiplier et diviser par la quantité conjuguée : $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$ .
3
Conclure : $b - a > 0$ car $a < b$ , et $\sqrt{b} + \sqrt{a} > 0$ (somme de nombres positifs), donc $f(b) - f(a) > 0$ , soit $f(b) > f(a)$ : $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x) = \sqrt{x}$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ par le calcul.

Étape 1 —

Prendre

0 \leq a < b

et écrire

f(b) - f(a) = \sqrt{b} - \sqrt{a}

.

Soient $0 \leq a < b$ . On écrit $f(b) - f(a) = \sqrt{b} - \sqrt{a}$ .

Étape 2 —

Multiplier et diviser par la quantité conjuguée :

\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}

.

On multiplie par la quantité conjuguée : $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$ .

Étape 3 —

Conclure :

b - a > 0

car

a < b

, et

\sqrt{b} + \sqrt{a} > 0

(somme de nombres positifs), donc

f(b) - f(a) > 0

, soit

f(b) > f(a)

:

f

est croissante sur

[0\,;\,+\infty[

.

$b - a > 0$ et $\sqrt{b} + \sqrt{a} > 0$ (pour $a < b$ et $b > 0$ ), donc $f(b) - f(a) > 0$ : $f$ est croissante.

$f(x) = \sqrt{x}$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

Pour $f(x) = \sqrt{x}$ : utiliser $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}} > 0$ pour $0 \leq a < b$ pour montrer que $f$ est croissante