Comment étudier algébriquement les variations d'une fonction de référence ?

Pour $f(x) = x^2$ : calculer $f(b) - f(a) = (b-a)(b+a)$ pour $a < b$ et étudier le signe selon que $a, b \in ]-\infty\,;\,0]$ ou $[0\,;\,+\infty[$

Montrer par le calcul que $f(x) = x^2$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x) = x^2$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ par le calcul.

L'objectif

Montrer par le calcul que $f(x) = x^2$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

Le principe

On factorise $f(b) - f(a) = (b-a)(b+a)$ : le signe dépend à la fois du signe de $(b-a)$ , toujours positif car $a < b$ , et du signe de $(b+a)$ , qui dépend des valeurs de $a$ et $b$ .

La méthode

1
Prendre $a < b$ et calculer $f(b) - f(a) = b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$ .
Comment développer ou factoriser une expression avec les identités remarquables ?Voir
2
Observer que $b - a > 0$ puisque $a < b$ .
3
Étudier le signe de $(b+a)$ : si $a, b \in [0\,;\,+\infty[$ , alors $b+a \geq 0$ , donc $f(b) - f(a) \geq 0$ : $f$ est croissante. Si $a, b \in ]-\infty\,;\,0]$ , alors $b+a \leq 0$ , donc $f(b) - f(a) \leq 0$ : $f$ est décroissante.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x) = x^2$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ par le calcul.

Étape 1 —

Prendre

a < b

et calculer

f(b) - f(a) = b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)

.

Soient $0 \leq a < b$ . On calcule $f(b) - f(a) = b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$ .

Étape 2 —

Observer que

b - a > 0

puisque

a < b

.

$b - a > 0$ car $a < b$ .

Étape 3 —

Étudier le signe de

(b+a)

: si

a, b \in [0\,;\,+\infty[

, alors

b+a \geq 0

, donc

f(b) - f(a) \geq 0

:

f

est croissante. Si

a, b \in ]-\infty\,;\,0]

, alors

b+a \leq 0

, donc

f(b) - f(a) \leq 0

:

f

est décroissante.

$b + a \geq 0$ car $a \geq 0$ et $b \geq 0$ . Donc $(b-a)(b+a) \geq 0$ , soit $f(b) \geq f(a)$ : $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

$f(x) = x^2$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

Pour $f(x) = x^2$ : calculer $f(b) - f(a) = (b-a)(b+a)$ pour $a < b$ et étudier le signe selon que $a, b \in ]-\infty\,;\,0]$ ou $[0\,;\,+\infty[$