En comparant le rapport $u_{n+1}/u_n$ à $1$

Déterminer le sens de variation d'une suite à termes strictement positifs en comparant $u_{n+1}/u_n$ à $1$ .

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite à termes strictement positifs en comparant $u_{n+1}/u_n$ à $1$ .

Le principe

Pour une suite à termes strictement positifs : si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$ pour tout $n$ , la suite est croissante ; si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$ , elle est décroissante.

La méthode

1
Vérifier que $u_n > 0$ pour tout $n$ , puis calculer le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et le simplifier.
2
Comparer ce rapport à $1$ pour tout entier $n$ .
3
Conclure : si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$ pour tout $n$ , la suite est croissante ; si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$ , elle est décroissante.

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Exercice d'exemple

Étudier le sens de variation de la suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 4$ et de raison $q = 1{,}5$ .

Étape 1 —

Vérifier que

u_n > 0

pour tout

n

, puis calculer le rapport

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}

et le simplifier.

$u_n = 4 \times 1{,}5^n > 0$ pour tout $n$ . On calcule $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1{,}5$ .

Étape 2 —

Comparer ce rapport à

1

pour tout entier

n

$1{,}5 > 1$ pour tout $n$ .

Étape 3 —

Conclure : si

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1

pour tout

n

, la suite est croissante ; si

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1

, elle est décroissante.

La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

$(u_n)$ est strictement croissante.

Application guidée

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{3^n}{n!}$ pour $n \geq 1$ .

Application autonome 1

$(u_n)$ est géométrique de raison $q = 0{,}8$ et de premier terme $u_0 = 10$ . Sens de variation ?

Application autonome 2

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{2^n}{n+1}$ pour $n \geq 0$ .

Application autonome 3

Soit $(v_n)$ définie par $v_n = \dfrac{n+1}{5^n}$ pour $n \geq 0$ . Étudier son sens de variation.

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En comparant le rapport un+1/unu_{n+1}/u_nun+1​/un​ à 111

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En comparant le rapport $u_{n+1}/u_n$ à $1$