En étudiant le signe de $u_{n+1} - u_n$

Déterminer le sens de variation d'une suite en étudiant le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ .

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite en étudiant le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ .

Le principe

Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$ , la suite est croissante ; si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ pour tout $n$ , elle est décroissante.

La méthode

1
Calculer $u_{n+1} - u_n$ en remplaçant $u_{n+1}$ et $u_n$ par leurs expressions, puis simplifier.
2
Déterminer le signe de cette différence pour tout entier $n$ (factorisation, signe d'un produit, etc.).
3
Conclure : si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$ , la suite est croissante ; si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ , elle est décroissante.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = n^2 - 3n$ .

Étape 1 —

Calculer

u_{n+1} - u_n

en remplaçant

u_{n+1}

u_n

par leurs expressions, puis simplifier.

On calcule $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 3(n+1) - (n^2 - 3n) = n^2 + 2n + 1 - 3n - 3 - n^2 + 3n = 2n - 2$ .

Étape 2 —

Déterminer le signe de cette différence pour tout entier

n

(factorisation, signe d'un produit, etc.).

$2n - 2 \geq 0 \iff n \geq 1$ . Donc pour $n \geq 1$ , $u_{n+1} - u_n \geq 0$ .

Étape 3 —

Conclure : si

u_{n+1} - u_n \geq 0

pour tout

n

, la suite est croissante ; si

u_{n+1} - u_n \leq 0

, elle est décroissante.

La suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $1$ .

$(u_n)$ est croissante à partir du rang $1$ .

Application guidée

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = -2n + 7$ .

Application autonome 1

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ .

Application autonome 2

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2n^2 + 5$ .

Application autonome 3

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{1}{n+1}$ pour $n \geq 0$ .

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