En étudiant les variations de $f$ telle que $u_n = f(n)$

Déterminer le sens de variation d'une suite en passant par l'étude d'une fonction associée.

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite en passant par l'étude d'une fonction associée.

Le principe

Si $u_n = f(n)$ et $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ , alors $(u_n)$ est croissante ; si $f$ est décroissante, $(u_n)$ est décroissante.

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ (ou $[1\,;+\infty[$ ) telle que $u_n = f(n)$ .
2
Calculer $f'(x)$ et déterminer son signe sur l'intervalle considéré.
3
Conclure : si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$ , alors $f$ est croissante et la suite $(u_n)$ est croissante (et inversement si $f'(x) \leq 0$ ).

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Exercice d'exemple

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ définie par $u_n = n^2 + 1$ pour $n \geq 0$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction

f

définie sur

[0\,;+\infty[

(ou

[1\,;+\infty[

) telle que

u_n = f(n)

On pose $f(x) = x^2 + 1$ , définie sur $[0\,;+\infty[$ , avec $u_n = f(n)$ .

Étape 2 —

Calculer

f'(x)

et déterminer son signe sur l'intervalle considéré.

$f'(x) = 2x \geq 0$ pour tout $x \geq 0$ .

Étape 3 —

Conclure : si

f'(x) \geq 0

pour tout

x \geq 0

, alors

f

est croissante et la suite

(u_n)

est croissante (et inversement si

f'(x) \leq 0

$f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ , donc $(u_n)$ est croissante.

$(u_n)$ est croissante.

Application guidée

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{1}{n+2}$ pour $n \geq 0$ .

Application autonome 1

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ définie par $u_n = \sqrt{2n+1}$ pour $n \geq 0$ .

Application autonome 2

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{n}{n^2 + 1}$ pour $n \geq 1$ .

Application autonome 3

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ définie par $u_n = n\,\mathrm{e}^{-n}$ pour $n \geq 0$ .

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