Comment étudier le signe d'un… : En utilisant la forme factorisée — 1re spé maths | MetMat

Comment étudier le signe d'un polynôme du second degré ?

En utilisant la forme factorisée

Étudier le signe d'un polynôme du second degré donné sous forme factorisée.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier le signe de $P(x) = 3(x - 1)(x + 2)$ .

L'objectif

Étudier le signe d'un polynôme du second degré donné sous forme factorisée.

Le principe

On étudie le signe de chaque facteur $(x - x_1)$ et $(x - x_2)$ séparément, puis on applique la règle des signes pour le produit.

La méthode

1
Identifier les facteurs : $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec $x_1 \leq x_2$ .
2
Dresser le tableau de signes de chaque facteur : $(x - x_1)$ s'annule en $x_1$ et change de signe, idem pour $(x - x_2)$ .
3
En déduire le signe du produit en appliquant la règle des signes sur chaque intervalle, sans oublier le signe de $a$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier le signe de $P(x) = 3(x - 1)(x + 2)$ .

Étape 1 —

Identifier les facteurs :

P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

avec

x_1 \leq x_2

$a = 3 > 0$ , $x_1 = -2$ , $x_2 = 1$ .

Étape 2 —

Dresser le tableau de signes de chaque facteur :

(x - x_1)

s'annule en

x_1

et change de signe, idem pour

(x - x_2)

$(x + 2)$ est négatif pour $x < -2$ , nul en $-2$ , positif pour $x > -2$ . $(x - 1)$ est négatif pour $x < 1$ , nul en $1$ , positif pour $x > 1$ .

Étape 3 —

En déduire le signe du produit en appliquant la règle des signes sur chaque intervalle, sans oublier le signe de

a

Produit (avec $a = 3 > 0$ ) : positif sur $]-\infty\,; -2[$ , nul en $-2$ , négatif sur $]-2\,; 1[$ , nul en $1$ , positif sur $]1\,; +\infty[$ .

$P(x) \geq 0$ sur $]-\infty\,; -2] \cup [1\,; +\infty[$ et $P(x) \leq 0$ sur $[-2\,; 1]$ .

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