En utilisant la forme factorisée

Étudier le signe d'un polynôme du second degré donné sous forme factorisée.

L'objectif

Étudier le signe d'un polynôme du second degré donné sous forme factorisée.

Le principe

On étudie le signe de chaque facteur $(x - x_1)$ et $(x - x_2)$ séparément, puis on applique la règle des signes pour le produit.

La méthode

1
Identifier les facteurs : $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec $x_1 \leq x_2$ .
2
Dresser le tableau de signes de chaque facteur : $(x - x_1)$ s'annule en $x_1$ et change de signe, idem pour $(x - x_2)$ .
3
En déduire le signe du produit en appliquant la règle des signes sur chaque intervalle, sans oublier le signe de $a$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier le signe de $P(x) = 3(x - 1)(x + 2)$ .

Étape 1 —

Identifier les facteurs :

P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

avec

x_1 \leq x_2

$a = 3 > 0$ , $x_1 = -2$ , $x_2 = 1$ .

Étape 2 —

Dresser le tableau de signes de chaque facteur :

(x - x_1)

s'annule en

x_1

et change de signe, idem pour

(x - x_2)

$(x + 2)$ est négatif pour $x < -2$ , nul en $-2$ , positif pour $x > -2$ . $(x - 1)$ est négatif pour $x < 1$ , nul en $1$ , positif pour $x > 1$ .

Étape 3 —

En déduire le signe du produit en appliquant la règle des signes sur chaque intervalle, sans oublier le signe de

a

Produit (avec $a = 3 > 0$ ) : positif sur $]-\infty\,; -2[$ , nul en $-2$ , négatif sur $]-2\,; 1[$ , nul en $1$ , positif sur $]1\,; +\infty[$ .

$P(x) \geq 0$ sur $]-\infty\,; -2] \cup [1\,; +\infty[$ et $P(x) \leq 0$ sur $[-2\,; 1]$ .

Application guidée

Étudier le signe de $P(x) = -(x + 3)(x - 5)$ .

Application autonome 1

Étudier le signe de $P(x) = 2(x - 4)^2$ .

Application autonome 2

Étudier le signe de $P(x) = (2x + 1)(x - 3)$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Étudier le signe de $P(x) = -4(x + 1)(x - 2)$ sur $\mathbb{R}$ .

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