Comment résoudre une inéquation du second degré ?

En étudiant le signe du polynôme via le discriminant et tableau de signes

Résoudre une inéquation du second degré en déterminant le signe du trinôme sur chaque intervalle.

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Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $x^2 - x - 6 \leq 0$ .

L'objectif

Résoudre une inéquation du second degré en déterminant le signe du trinôme sur chaque intervalle.

Le principe

Le signe d'un trinôme $ax^2 + bx + c$ est du signe de $a$ sauf entre les racines (quand elles existent).

La méthode

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Mettre l'inéquation sous la forme $ax^2 + bx + c \geq 0$ (ou $\leq 0$ , $> 0$ , $< 0$ ) et identifier $a$ , $b$ , $c$ .
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Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ et déterminer les racines éventuelles.
3
Dresser le tableau de signes du trinôme : du signe de $a$ partout si $\Delta < 0$ ; s'annule et change de signe aux racines si $\Delta > 0$ ; s'annule sans changer de signe si $\Delta = 0$ .
Comment étudier le signe d'un polynôme du second degré ?Voir
4
Lire les intervalles solutions sur le tableau de signes selon l'inéquation demandée.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre $x^2 - x - 6 \leq 0$ .

Étape 1 —

Mettre l'inéquation sous la forme

ax^2 + bx + c \geq 0

(ou

\leq 0

,

> 0

,

< 0

) et identifier

a

,

b

,

c

.

L'inéquation est déjà sous la bonne forme. On a $a = 1$ , $b = -1$ , $c = -6$ .

Étape 2 —

Calculer

\Delta = b^2 - 4ac

et déterminer les racines éventuelles.

$\Delta = 1 + 24 = 25 > 0$ . Les racines sont $x_1 = \dfrac{1-5}{2} = -2$ et $x_2 = \dfrac{1+5}{2} = 3$ .

Étape 3 —

Dresser le tableau de signes du trinôme : du signe de

a

partout si

\Delta < 0

; s'annule et change de signe aux racines si

\Delta > 0

; s'annule sans changer de signe si

\Delta = 0

.

$a = 1 > 0$ donc le trinôme est négatif entre les racines : négatif sur $]-2\,; 3[$ et positif à l'extérieur.

Étape 4 —

Lire les intervalles solutions sur le tableau de signes selon l'inéquation demandée.

On cherche $\leq 0$ : l'ensemble solution est $[-2\,; 3]$ .

$S = [-2\,; 3]$

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