Comment déterminer la forme canonique d'un polynôme du second degré ?

En appliquant la complétion du carré

Écrire un polynôme du second degré sous forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Écrire $P(x) = x^2 - 6x + 5$ sous forme canonique.

L'objectif

Écrire un polynôme du second degré sous forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ .

Le principe

On factorise $a$ , on complète le carré à l'intérieur de la parenthèse, puis on simplifie pour obtenir $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = c - \dfrac{b^2}{4a}$ .

La méthode

1
Factoriser $a$ : $ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right) + c$ .
2
Compléter le carré : $x^2 + \dfrac{b}{a}x = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}$ .
3
Regrouper : $P(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + c - \dfrac{b^2}{4a}$ , soit $a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = c - \dfrac{b^2}{4a}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Écrire $P(x) = x^2 - 6x + 5$ sous forme canonique.

Étape 1 —

Factoriser

a

:

ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right) + c

.

$a = 1$ donc $P(x) = x^2 - 6x + 5$ .

Étape 2 —

Compléter le carré :

x^2 + \dfrac{b}{a}x = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}

.

$x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ .

Étape 3 —

Regrouper :

P(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + c - \dfrac{b^2}{4a}

, soit

a(x - \alpha)^2 + \beta

avec

\alpha = -\dfrac{b}{2a}

et

\beta = c - \dfrac{b^2}{4a}

.

$P(x) = (x - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$ .

$P(x) = (x - 3)^2 - 4$

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