Comment développer \|vec u + vec… : En appliquant les identités de… — 1re spé maths | MetMat

Comment développer $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ ou $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2$ ?

En appliquant les identités de développement $\|\vec{u} \pm \vec{v}\|^2$

Développer le carré de la norme d'une somme ou différence de vecteurs.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On donne $\|\vec{u}\| = 3$ , $\|\vec{v}\| = 2$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$ . Calculer $\|\vec{u} + \vec{v}\|$ .

L'objectif

Développer le carré de la norme d'une somme ou différence de vecteurs.

Le principe

$\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ et $\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ .

La méthode

1
J'identifie l'expression à développer : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ ou $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2$ .
2
J'applique l'identité correspondante : $\|\vec{u} \pm \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 \pm 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ .
3
Je remplace par les valeurs connues et je calcule.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On donne $\|\vec{u}\| = 3$ , $\|\vec{v}\| = 2$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$ . Calculer $\|\vec{u} + \vec{v}\|$ .

Étape 1 —

J'identifie l'expression à développer :

\|\vec{u} + \vec{v}\|^2

\|\vec{u} - \vec{v}\|^2

On développe $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ .

Étape 2 —

J'applique l'identité correspondante :

\|\vec{u} \pm \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 \pm 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2

$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 = 9 + 2 \times (-1) + 4 = 11$ .

Étape 3 —

Je remplace par les valeurs connues et je calcule.

$\|\vec{u} + \vec{v}\| = \sqrt{11}$ .

$\|\vec{u} + \vec{v}\| = \sqrt{11}$

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Pour comprendre, fais des exercices !

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