Comment développer \|vec u + vec… : En utilisant les formules de polarisation — 1re spé maths | MetMat

Comment développer $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ ou $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2$ ?

En utilisant les formules de polarisation

Calculer un produit scalaire quand on ne connaît que les normes (pas d'angle, pas de coordonnées).

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 5$ , $AC = 3$ et $BC = 7$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ .

L'objectif

Calculer un produit scalaire quand on ne connaît que les normes (pas d'angle, pas de coordonnées).

Le principe

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$ ou $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)$ .

La méthode

1
Je repère les trois normes connues : $\|\vec{u}\|$ , $\|\vec{v}\|$ et $\|\vec{u}+\vec{v}\|$ (ou $\|\vec{u}-\vec{v}\|$ ).
2
J'applique la formule de polarisation adaptée et je remplace par les valeurs numériques.
3
Je simplifie pour obtenir $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 5$ , $AC = 3$ et $BC = 7$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ .

Étape 1 —

Je repère les trois normes connues :

\|\vec{u}\|

\|\vec{v}\|

\|\vec{u}+\vec{v}\|

(ou

\|\vec{u}-\vec{v}\|

$\|\vec{AB}\| = 5$ , $\|\vec{AC}\| = 3$ et $\|\vec{BC}\| = \|\vec{AC} - \vec{AB}\| = 7$ .

Étape 2 —

J'applique la formule de polarisation adaptée et je remplace par les valeurs numériques.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}\left(AB^2 + AC^2 - BC^2\right) = \frac{1}{2}(25 + 9 - 49)$ .

Étape 3 —

Je simplifie pour obtenir

\vec{u} \cdot \vec{v}

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2} \times (-15) = -\frac{15}{2}$ .

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -\frac{15}{2}$

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Comment développer ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec{u} + \vec{v}\|^2∥u+v∥2 ou ∥u⃗−v⃗∥2\|\vec{u} - \vec{v}\|^2∥u−v∥2 ?

En utilisant les formules de polarisation

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment développer $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ ou $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2$ ?