Comment calculer un angle entre deux vecteurs ?

En calculant l'angle d'un triangle à partir des vecteurs issus du sommet

Calculer un angle d'un triangle connaissant les coordonnées de ses sommets.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A(0\,;0)$ , $B(1\,;0)$ et $C(0\,;1)$ . Calculer l'angle $\widehat{BAC}$ .

L'objectif

Calculer un angle d'un triangle connaissant les coordonnées de ses sommets.

Le principe

Pour l'angle en $A$ du triangle $ABC$ , on forme $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ , puis $\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \times \|\vec{AC}\|}$ .

La méthode

1
Je calcule les coordonnées des vecteurs issus du sommet de l'angle (par ex. $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ pour l'angle en $A$ ).
2
Je calcule le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ et les normes $\|\vec{AB}\|$ et $\|\vec{AC}\|$ .
3
J'en déduis $\cos(\widehat{BAC})$ puis la mesure de l'angle avec $\arccos$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A(0\,;0)$ , $B(1\,;0)$ et $C(0\,;1)$ . Calculer l'angle $\widehat{BAC}$ .

Étape 1 —

Je calcule les coordonnées des vecteurs issus du sommet de l'angle (par ex.

\vec{AB}

et

\vec{AC}

pour l'angle en

A

).

$\vec{AB}(1\,;0)$ et $\vec{AC}(0\,;1)$ .

Étape 2 —

Je calcule le produit scalaire

\vec{AB} \cdot \vec{AC}

et les normes

\|\vec{AB}\|

et

\|\vec{AC}\|

.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$ , $\|\vec{AB}\| = 1$ , $\|\vec{AC}\| = 1$ .

Étape 3 —

J'en déduis

\cos(\widehat{BAC})

puis la mesure de l'angle avec

\arccos

.

$\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{0}{1} = 0$ , donc $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{2}$ .

$\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{2}$

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