En calculant l'angle d'un triangle à partir des vecteurs issus du sommet

Calculer un angle d'un triangle connaissant les coordonnées de ses sommets.

L'objectif

Calculer un angle d'un triangle connaissant les coordonnées de ses sommets.

Le principe

Pour l'angle en $A$ du triangle $ABC$ , on forme $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ , puis $\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \times \|\vec{AC}\|}$ .

La méthode

1
Je calcule les coordonnées des vecteurs issus du sommet de l'angle (par ex. $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ pour l'angle en $A$ ).
2
Je calcule le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ et les normes $\|\vec{AB}\|$ et $\|\vec{AC}\|$ .
3
J'en déduis $\cos(\widehat{BAC})$ puis la mesure de l'angle avec $\arccos$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $A(0\,;0)$ , $B(1\,;0)$ et $C(0\,;1)$ . Calculer l'angle $\widehat{BAC}$ .

Étape 1 —

Je calcule les coordonnées des vecteurs issus du sommet de l'angle (par ex.

\vec{AB}

\vec{AC}

pour l'angle en

A

$\vec{AB}(1\,;0)$ et $\vec{AC}(0\,;1)$ .

Étape 2 —

Je calcule le produit scalaire

\vec{AB} \cdot \vec{AC}

et les normes

\|\vec{AB}\|

\|\vec{AC}\|

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$ , $\|\vec{AB}\| = 1$ , $\|\vec{AC}\| = 1$ .

Étape 3 —

J'en déduis

\cos(\widehat{BAC})

puis la mesure de l'angle avec

\arccos

$\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{0}{1} = 0$ , donc $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{2}$ .

$\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{2}$

Application guidée

Soit $A(1\,;2)$ , $B(4\,;2)$ et $C(1\,;6)$ . Calculer l'angle $\widehat{BAC}$ .

Application autonome 1

Soit $A(0\,;0)$ , $B(2\,;0)$ et $C(1\,;\sqrt{3})$ . Calculer l'angle $\widehat{BAC}$ .

Application autonome 2

Soit $A(1\,;1)$ , $B(4\,;1)$ et $C(1\,;4)$ . Calculer les trois angles du triangle $ABC$ .

Application autonome 3

Soit $A(-1\,; 2)$ , $B(3\,; 5)$ et $C(2\,; -1)$ . Calculer l'angle $\widehat{BAC}$ .

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