Comment appliquer la formule d'Al-Kashi ?

En appliquant Al-Kashi pour trouver un angle connaissant les trois côtés

Calculer un angle d'un triangle dont on connaît les trois côtés.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans le triangle $ABC$ , $AB = 3$ , $AC = 5$ et $BC = 7$ . Calculer $\widehat{BAC}$ .

L'objectif

Calculer un angle d'un triangle dont on connaît les trois côtés.

Le principe

En isolant le cosinus dans la formule d'Al-Kashi : $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ où $a$ est le côté opposé à $\widehat{A}$ .

La méthode

1
Identifier les trois côtés et repérer l'angle cherché (opposé au côté $a$ ).
2
Appliquer la formule inversée : $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ .
3
Calculer la valeur du cosinus puis en déduire l'angle avec $\arccos$ .
Comment calculer un angle à l'aide du produit scalaire ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ , $AB = 3$ , $AC = 5$ et $BC = 7$ . Calculer $\widehat{BAC}$ .

Étape 1 —

Identifier les trois côtés et repérer l'angle cherché (opposé au côté

a

).

L'angle cherché est $\widehat{BAC}$ , opposé au côté $BC = 7$ . Les côtés adjacents sont $AB = 3$ et $AC = 5$ .

Étape 2 —

Appliquer la formule inversée :

\cos(\widehat{A}) = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

.

$\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \dfrac{9 + 25 - 49}{2 \times 3 \times 5} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Calculer la valeur du cosinus puis en déduire l'angle avec

\arccos

.

$\cos(\widehat{BAC}) = -\dfrac{1}{2}$ , donc $\widehat{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}$ .

$\widehat{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}$

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