En appliquant Al-Kashi pour calculer une longueur

Calculer la longueur d'un côté d'un triangle connaissant les deux autres côtés et l'angle entre eux.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 5$ , $AC = 7$ et $\widehat{BAC} = 60°$ . Calculer $BC$ .

L'objectif

Calculer la longueur d'un côté d'un triangle connaissant les deux autres côtés et l'angle entre eux.

Le principe

Formule d'Al-Kashi : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \, AB \cdot AC \cos(\widehat{BAC})$ .

La méthode

1
J'identifie les deux côtés connus et l'angle compris entre eux.
2
J'applique $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)$ où $a$ est le côté opposé à l'angle $A$ .
3
Je calcule et j'en déduis $a = \sqrt{\ldots}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 5$ , $AC = 7$ et $\widehat{BAC} = 60°$ . Calculer $BC$ .

Étape 1 —

J'identifie les deux côtés connus et l'angle compris entre eux.

On connaît $AB = 5$ , $AC = 7$ et l'angle $\widehat{BAC} = 60°$ .

Étape 2 —

J'applique

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)

où

a

est le côté opposé à l'angle

A

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60°) = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$ .

Étape 3 —

Je calcule et j'en déduis

a = \sqrt{\ldots}

$BC = \sqrt{39}$ .

$BC = \sqrt{39}$

Application guidée

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 8$ , $AC = 6$ et $\widehat{BAC} = 120°$ . Calculer $BC$ .

Application autonome 1

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 4$ , $AC = 4$ et $\widehat{BAC} = 90°$ . Calculer $BC$ .

Application autonome 2

Dans un parallélogramme $ABCD$ , on donne $AB = 6$ , $AD = 4$ et $\widehat{BAD} = 60°$ . Calculer $BD$ .

Application autonome 3

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 10$ , $AC = 7$ et $\widehat{BAC} = 45°$ . Calculer $BC$ .

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